专题04 向量的数乘运算-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题04 向量的数乘运算 1．向量的数乘的定义 一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|． (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0． 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa)＝(λμ)a．(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa．(3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb. 3．向量的线性运算及向量共线定理 (1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． (2)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 4．注意要点 若将定理中的条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线． (1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa. (2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa. 5．证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. 6．重要结论 (1)若A，B，P三点共线，则＝x＋y且x＋y＝1. (2)在△ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋)． (3)在△ABC中，若G为△ABC的重心，则＋＋＝0. 题型一 向量的线性运算 1．计算：①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；③. [解析] (1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. ③原式＝＝＝a－b. 2．计算： (1)＋(3a－2b)－(a－b)； (2)－. [解析] (1)原式＝a＋b＝a＋b. (2)原式＝－＝a＋b－a－b＝0. 3．化简下列各式： ①3(6a＋b)－9； ②－2； ③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. [解析]①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. ②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0. ③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 4．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________． [解析]原式＝a－b－a－b＋a＋b＝(－＋)a＋(－－＋)b＝0a＋0b＝0＋0＝0. 5．等于(　　) A．2a－b　　　　　　　　　　 B．2b－a C．b－a D．a－b [解析]原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b. 6．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． [解析]原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b ＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝i＋j＝－i－5j. 7．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x. [解析]因为2x－a－b－c＋x＋b＝0，所以x－a＋b－c＝0， 所以x＝a－b＋c，所以x＝a－b＋c. 8．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________. [解析]　∵(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，∴a－2c＋15c－12b＝0，∴13c＝12b－a，∴c＝b－a. 9．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________． [解析]由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 10．已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b， 求向量x，y. [解析]由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a， 所以y＝4a＋3b.所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 11．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝(　　) A. B. C. D. [解析]选A.＝－＝－＝3e2－2e1，＝＝e2－e1. 题型二 向量共线定理及其应用 1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　) A．a与－λa的方向相反　　　　 B．|－λa|≥|a| C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a [解析]当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0， 所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向