专题03 向量的减法运算-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题03 向量的减法运算 1．相反向量 (1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量． (2)结论 ①－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0． 2．向量的减法 (1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示． (3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 3．注意要点 (1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． (3)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 题型一 向量减法的几何意义 1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解析]法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC， 则＝b－c.过点A作AD//BC，连接OD，则＝b－c， 所以＝＋＝a＋b－c. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接CB，则＝a＋b－c. 法三：如图③，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB， 则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 2．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. [解析]在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c， 则向量＝a－b－c. 3．如图所示，点O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝，c－d＝，并画出b－c和a＋d. [解析]因为a＋b＝，c－d＝，所以a＝，b＝，c＝，d＝.如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.根据平行四边形法则可得，b－c＝，a＋d＝. 4．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作： (1)b＋c－a；(2)a－b－c. [解析] (1)以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c， 所以b＋c－a＝－＝，如图所示． (2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c， 连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c. 题型二 向量减法的运算及简单应用 1．化简下列各式： (1)(＋)＋(－－)；(2)－－. [解析] (1)法一：原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 法二：原式＝＋＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝. (2)法一：原式＝－＝. 法二：原式＝－(＋)＝－＝. 2．下列四个式子中可以化简为的是(　　) ①＋－；②－；③＋；④－. A．①④　　　 B．①②　　　 C．②③　　　 D．③④ [解析]因为＋－＝－＝＋＝，所以①正确，排除C，D；因为－＝， 所以④正确，排除B.故选A. 3．化简下列向量表达式： (1)－＋－；(2)(－)＋(－)． [解析] (1)－＋－＝＋－＝－＝. (2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝. 4．化简下列各向量的表达式： ①＋－；②(－)－(－)；③(＋＋)－(－－)． [解析]①＋－＝－＝. ②(－)－(－)＝(＋)－(＋)＝－＝0. ③(＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝0. (2)②法一：(加法法则) 原式＝－－＋＝(＋)－(＋)＝－＝0； 法二：减法法则(利用相反向量) 原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0； 法三：减法法则(创造同一起点) 原式＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－) ＝－－＋－＋＋－＝0. 5．化简：－＋－＋＝________． [解析]原式＝＋＋＋＝＋＋＝0＋＝. 6．化简－＋＋的结果等于(　　) A.　　　　　　　B. C. D. [解析]原式＝(＋)＋(＋)＝＋0=. 7．下列各式中不能化简为的是(　　) A．(－)－ B.－(＋) C．－(＋)－(＋) D．－－＋ [解析]选项A中，(－)－＝＋＋＝＋＋＝； 选项B中，－(＋)＝－0=； 选项C中，－(＋)－(＋)＝－－－－＝＋＋＋ ＝(＋＋)＋＝. 8．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　) A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ [解析]＝＋＝－＝－＝－－.故选B. 9．给出下列各式： ①＋＋； ②－＋－；③－－； ④－＋＋. 对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 [解析]选A.①＋＋＝＋＝0； ②－＋－＝＋－(＋)＝－＝0； ③－－＝＋＋＝＋＝0； ④－＋＋＝＋＋－＝＋＝