专题02 向量的加法运算-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题02 向量的加法运算 1．向量加法的定义及运算法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 法则 三角形法则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量 结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b， 即a＋b＝＋＝ 图形 法则 平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB 结论 对角线就是a与b的和 图形 规定 对于零向量与任一向量a，我们规定a＋00a＝a 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 3．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系 一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立． 题型一 平面向量的加法及其几何意义 1．①如图甲所示，求作向量和a＋b；②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c. 　甲　　　　　　　乙 [解析]①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． ②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b， 则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 2．如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c. [解析]法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图，首先在平面内任取一点O， 作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b， 则向量＝a＋b＋c为所求． 法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b； (2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；(3)再作向量＝c；(4)作平行四边形CODE， 则＝＋c＝a＋b＋c.即为所求． 3．如图，已知向量a，b，求作向量a＋b. [解析] (1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(1)． (2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2)． (3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3)． 4．已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作： (1)＋；(2)＋. [解析] (1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量为所求． (2)在AB上取点G，使AG＝AB，则向量为所求． 5．如图，已知向量a，b，c，d. (1)求作a＋b＋c＋d； (2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值． [解析] (1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d. (2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，因为e为单位向量， 所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)， 由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，||即|a＋e|最大，最大值是3. 6．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向(　　) A．与向量a方向相同　　　 B．与向量a方向相反 C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反 [解析]因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，由三角形法则知向量a＋b与a同向． 7．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　) A．a∥b，且a与b方向相同 B．a，b是共线向量且方向相反 C．a＝b D．a，b无论什么关系均可 [解析]根据三角形法则可知，a∥b，且a与b方向相同． 8．已知向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是(　　) A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向 B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向 C．若a与b同向，则a＋b与a同向 D．若a与b同向，则a＋b与b同向 [解析]选B.a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以B错； a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向． 9．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0. [解析]单位向量不一定相等或相反，也不一定共线，但其模为1，故只有③正确． 10．若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中： ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|. 正确结论的