专题01 平面向量的概念-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题01 平面向量的概念 1．向量的概念及表示 (1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段 ①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度． ③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作． ④长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.　 2．向量的几何表示 (1)具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量可以用有向线段来表示．向量的大小称为向量 的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，. 3．向量的有关概念 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 向量a，b平行，记作a∥b 规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b 题型一 向量的相关概念 1．下列说法正确的是(　　) A．实数可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小 C．向量的模是正数 D．向量的模可以比较大小 [解析]对于A，数量可以比较大小，但向量是矢量，不能比较大小，A错误；对于B，向量是矢量，不能比较大小，B错误；对于C，零向量的模为0,0不是正数，C错误；对于D，向量的模长是数量，可以比较大小，故选D. 2．判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行； (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反． [解析] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小． (2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b. (4)不正确．依据规定：0与任意向量平行． (5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定． 3．给出下列命题： ①若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD中，一定有＝； ③若a＝b，b＝c，则a＝c. 其中所有正确命题的序号为________． [解析]＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．　【答案】②③ 4．有下列说法： ①位移和速度都是向量； ②若向量，满足||>||，且与同向，则>； ③零向量没有方向； ④向量就是有向线段． 其中，正确说法的个数是 [解析]对于①，位移和速度都是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，零向量有方向，其方向是不确定的，故③错误；对于④，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故④错误. 5．下列说法正确的是(　　) A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 [解析]选C.向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错． 6．下列说法正确的是(　　) A．有向线段与表示同一向量 B．两个有公共终点的向量是平行向量 C．零向量与单位向量是平行向量 D．对任一向量a，是一个单位向量 [解析]向量与方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反； 当a＝0时，无意义，故A，B，D错误．零向量与任何向量都是平行向量，C正确． 7．下列说法中正确的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 [解析]不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确． 8．下面几个命题： ①若a＝b，则|a|＝|b|； ②若|a|＝0，则a＝0； ③若|a|＝|