第18讲 圆内接正多边形-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

第18课 圆内接正多边形 ( 目标导航 ) 课程标准 1.知道圆内接正多边形的定义及相关概念； 2.认识正多边形与圆的关系； 3.会用尺规作一个圆的内接正六边形和正方形； 4.掌握正多边形边长、中心角及边心距的求法. ( 知识精讲 ) 知识点01 圆内接正多边形的相关概念 1、 圆内接正多边形的定义 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆。 2、 圆内接正多边形的相关概念 （1） 正多边形的中点：一个正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心，如上图点O。 （2） 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径，如图中的OA,OB,OE。 （3） 正多边形的中心角：正多边形每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，如图中的。 （4） 正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一条边的距离叫做正多边形的边心距，如图中的OM。 知识点02 正多边形的有关计算 与正多边形有关的计算公式（n为正多边形的边数，n3）： （1） 正n边形的每个内角为 （2） 正n边形的每个中心角为 （3） 正n边形的每个外角为 （4） 正n边形的半径R、边心距r、边长a之间的关系为 （5） 若正n边形的边长为a，边心距为r，则正n边形的周长，面积 知识点03 圆内接正多边形的画法 可利用正多边形和外接圆的关系画正多边形，即作半径为R的正n（n3）边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可。有如下两种方法： 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　 　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 注意： 画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. ( 能力拓展 ) 考法01 求正多边形的中心角以及边数 【典例1】如图，点为正五边形的中心，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点为正五边形的中心， ∴， 故选：D 【即学即练】如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【答案】C 【详解】解：连接，， ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， 故选：C． 【典例2】如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 【即学即练】如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【详解】分别连接OB、OA、OC，如图所示 ∵是内接正三角形的一边 ∴∠BOC= 同理，可得：∠AOB=90° ∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=30° ∵是正边形的一边 ∴ ∴n=12 故选：C． 考法02 正多边形和圆 【典例3】如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 【答案】A 【详解】解：连接、，如图， 四边形为平行四边形， ， ， ， 为的直径， ， 为等边三角形， ， ， 而， ， 在中，，， 矩形的面积． 故选：A． 【即学即练】如图，、、、是上的四点，，，，则的面积为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：如图，过点作于点． ，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 的面积， 故选：D． 【典例4】如图，用六个全等的直角三角形恰好拼成一大一小两个正六边形，则大正六边形与小正六边形的周长之比为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，