第14讲 圆周角和圆心角的关系-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

第14讲 圆周角和圆心角的关系 ( 目标导航 ) 课程标准 1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能进行简单的推理和计算。 2.知道圆内接四边形的相关概念和性质。 3.体会分类、归纳等数学思想方法，提高自己解决问题的能力。 ( 知识精讲 ) 知识点01 圆周角的定义 顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角。 注意： （1）圆周角具备两个特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交（相交指的是除了顶点外，角两边分别与圆还有另一个交点）。 （2）圆周角可以是锐角，也可以是直角或钝角。 （3）一条弧所对的圆周角有无数个。 知识点02 圆周角定理 1. 圆周角定理： 　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 2.圆周角定理的推论： 　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 注意： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3） 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外 部．（如下图） 知识点03 圆内接四边形 1.圆内接四边形定义： 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 2.圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 注意： 当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. ( 能力拓展 ) 考法01 圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 【典例1】如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【即学即练】如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（     ） A．116 B．120 C．122 D．128 【答案】D 【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC， 与圆O相切于A点， ， ， ， ， 垂直平分BC， ， ， ， 的度数为， 故选：D． 【典例2】如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【详解】解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BCD=100°， ∴∠ACD=10°， ∵∠AOD与∠ACD都对着， ∴∠AOD=2∠ACD=2×10°=20°． 故选∶B． 【即学即练】如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：A、B、O是小正方形顶点， ， （同圆内，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）， ， 故选：B． 考法02 圆周角定理及应用 【典例3】如图，点A、B、C是上的点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【即学即练】如图，为的直径，弦交于点E，，，，则（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故选：D． 【典例4】如图，是的弦，，C是上的一个动点，且．若M，N分别是，的中点，则长的最大值是（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 点M，N分别是，的中点， ， 当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大， 连接并延长交于点，连接， 是的直径， ． ，， ， ， 长的最大值是． 故选C． 【即学即练】如图，为的弦，，点C是上的一个动点，且，若点M、N分别是的中点，则长的最大值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ∵点M，N分别是的中点， ∴ ∴当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大， 连接并延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 考法03 圆内接四边形及应用 【典例5】如图，四边形是的内接四边形，E是延长线上一点．若，则的度数是（　　） A．124° B．114° C．94° D．66° 【答案】B 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，E是延长线上一点． ， 故选：B． 【即学即练】如图，点A、B、C