第13讲 垂径定理-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

第13讲 垂径定理 ( 目标导航 ) 课程标准 1.掌握垂径定理及其逆定理，能利用垂径定理及其逆定理进行相关计算和证明。 2.会运用垂径定理解决相关的实际问题。 ( 知识精讲 ) 知识点01 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 注意： ①定理中的“直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段。 ②条件中的“弦”可以是直径，结论中“平分弦所对的弧”指的是既平分弦所对的劣弧，也平分弦所对的优弧。 知识点02 垂径定理的逆定理 1. 内容 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意： ①被平分的弦“不是直径”。任意两条直径都互相平分。 ②结论中“平分弦所对的弧”指的是既平分弦所对的劣弧，也平分弦所对的优弧。 利用垂径定理的逆定理可以确定圆心的位置：在圆中找出两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是交点。 2. 垂径定理及其逆定理的拓展 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论。 注意： “过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径。 ( 能力拓展 ) 考法01 应用垂径定理进行计算与证明 【典例1】如图，在中，弦的长为16cm，若圆心O到的距离为6cm，则的半径为（    ）cm． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接， ∵圆心O到的距离为6cm， ∴，即， ∴， ∴， ∴的半径为， 故选D． 【即学即练】如图，已知的半径为10，弦，则点到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴， ∵的半径为10，即， ∴在中，， 即点到的距离是8． 故选：B． 【典例2】如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠BOC=(     ) A．140° B．40° C．80° D．60° 【答案】C 【详解】∵∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°， ∴∠BOC=2∠A=80°． 故选C． 【即学即练】已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（    ） A．60°  B．120° C．60°或120°  D．90° 【答案】C 【详解】①当△ABC时锐角三角形时， 连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D， ∴  ， ∵OB=2 ∴ ∴∠BOD=60° ∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°， ∵=， ∴； ②当△ABC时钝角三角形时，如图， 由①可知∠E=60°， ∵四边形ABEC是圆内接四边形， ∴∠E+∠A=180°， ∴∠A=180°-60°=120°. 故∠A的度数为60°或120°. 故答案为：C 考法02 垂径定理的综合应用 【典例3】唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设半径为 ，则 在 中，有 ，即 解得 故选：D 【即学即练】如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据垂径定理可知， 在直角中，根据勾股定理得： 则 解得：或4， 根据题中，可知不合题意，故舍去， ∴． 故选：C． 【典例4】如图1，点M表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，则在水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作半径于E， m， 在中，， ． 答：水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为． 故选D． 【即学即练】如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为， 故选：C． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列说法中， 正确的是（   ） A．任意三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．三角形的外心到它的三顶点的距离相等 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】C 【详解】解：A、同一平面内，任意不在同一直线上的三点确定一个圆，故A错误，不符合题意； B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故B错误，不符合题意； C、三角形的外