6.2 平面向量的运算（学案）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

6.2 平面向量的运算（学案） 知识自测 一．向量的加法运算法则 1.三角形法则 已知 向量、，在平面上任取一点A，作＝，＝，则向量叫做与的和，记作＋，即＋＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 记忆口诀： 2.平行四边形法则 已知两个 向量，，作＝，＝，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量就是向量与的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 记忆口诀： 3.加法的运算律 (1)交换律： (2)结合律： 二．向量的减法运算 1.相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－. 性质：①和－互为相反向量。 ②零向量的相反向量仍是零向量。 ③由两个向量的和的定义可知：＋(－)＝(－)+ =0，即任意向量与其相反向量的和是零向量。 2.向量的减法　 (1)定义：向量加上的相反向量，叫做与b的差，即－＝＋(－)，求两个向量差的运算叫做向量的减法；向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量. （2）运算法则：三角形法则或平行四边形法则 记忆口诀：共起点，箭头指向被减数 三．向量的数乘运算 1.向量的数乘运算 （1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ. （2）规定：①|λ|＝|λ||| ②当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0. （3）运算律：设λ，μ为实数，则 ①λ(μ)＝λμ； ②(λ＋μ)＝λ＋μ； ③λ(＋)＝λ＋λ(分配律)． 2.共线定理： 3.线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 四．向量的数量积 1.夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角 (2)图示： 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹角 （3）范围： 当θ＝0时，两向量，共线且同向 ； 当θ＝时，两向量，相互垂直，记作⊥； 当θ＝π时，两向量，共线但反向 2.向量的数量积 （1） 定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则把数量||||cos θ叫做与的数量积(或内积) （2） 记法：·，即·＝||||·cos，其中是与的夹角 注意：数量积的结果为数量,不再是向量。 （3）设，是非零向量，它们的夹角是θ，则 ①⊥⇔·＝0. ②当与同向时，·＝||||；当与反向时，·＝－||||. ③·＝||2或||＝ 3.数量积的运算律 (1)交换律： (2)数乘结合律： (3)分配律： 向量数量积的运算不满足乘法结合律： 4.投影：设θ是，的夹角，则||cos θ叫做向量在向量的方向上的投影 ||cos θ叫做向量在向量的方向上的投影 知识简用 题型一 向量的加法运算 【例1-1】（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知下列各组向量，，求作． 【例1-2】．（2022山西）化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 题型二 向量的减法运算 【例2-1】（2021·全国·高一课时练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【例2-2】（2022浙江）化简下列各式： （1）(＋)＋(－－)； （2）－－. （3） （4）； （5）＋． 题型三 向量的数乘运算 【例3-1】（2022·福建）计算： （1）； （2）. （3）； （4）． 【例3-2】（2022·黑龙江）已知非零向量，不共线． (1)如果，，，求证：，，三点共线； (2)欲使和共线，试确定实数的值． 题型四 向量的数量积 【例4-1】（2022·上海市）已知单位向量满足，则向量的夹角为______． 【例4-2】（2022·上海市）已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影是______. 【例4-3】（2022·台州市）已知，，与的夹角为，那么等于 【例4-4】（2022·上海市金山中学高一期末）已知向量