6.3.2 二项式系数的性质（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.2 二项式系数的性质 第6章计数原理 人教A版2019必修第三册 学习目标 1.理解二项式系数的性质. 2.会用赋值法求展开式系数的和. 同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式： 情境引入： 这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就． 问题　你能利用上述规律写出下一行的数值吗？ 提示　根据规律下一行的数值分别是：1　7　21　35　35　21　7　1. 1. 二项式定理： 复习巩固： 2. 通项公式： 3. 二项式系数： 探究 用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中. n (a＋b)n的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 通过计算，填表，你发现了什么规律？ (a＋b)1 (a＋b)2 (a＋b)3 (a＋b)4 (a＋b)5 (a＋b)6 杨辉三角 上表中蕴含着许多规律： (1) 同行中，两端都是1，与两端等距离的项的系数相等； (2) 在相邻的两行中，除1以外，每一个数都等于它“肩上”两个数的和，事实上，设表中任一不为1的数为 ，那么它肩上的两个数分别为 和 ，即 对于 展开式的二项式系数 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是 下面从函数角度分析二项式系数： 对于确定的n，我们还可以画出它的图象. 例如，当n=6时，函数 的图象是右图中的7个孤立点． r f(r) O 1 2 3 5 10 15 20 4 5 6 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1. 对称性 由此我们可得二项式系数有以下性质： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． r f(r) O 1 2 3 5 10 15 20 4 5 6 事实上，这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴为 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2. 增减性与最大值 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3. 各二项式系数的和 思考 即 这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例3 求证：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明： 即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 思考 课堂练习 解： 证明： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 解： 随堂检测 1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　) A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3 2．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　令x＝－1，则原式化为 [(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9 ＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2. 答案　A 3．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中，x2的系数为__________． 答案　35 5. 设 (1-x)15=a0+ a1x+ a2x2+...+ a15x15 求: (1) a1+ a2+ a3+ a4+...+ a15 (2) a1+ a3+ a5+...+ a15 解：（1）令x=0可得115=a0，则a0=1 令x=1可得015=a0+a1+a2+...+a15， 所以 a1+a2+...+a15=-a0=-1. （2）令x=-1 可得 215=a0-a