上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高三下学期4月月考数学试卷

上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高三年级下学期 4月月考数学试卷 2021.04 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.设集合,则 . 2.计算: . 3.直线的一个方向向量为 . 4.已知，其中，则 . 5.方程的解为 6.若变量,满足约束条件，且的最大值和最小值分别和，则 . 7.如图，在长方体中,是的中点，则三棱锥的体积为 . 8.已知函数，若存在，使得，则的最小值为 . 9.某游戏的得分为，小明玩该游戏得分为的概率为,若，则小明得5分的概率至少为 . 10.已知数列是公差为的等差数列，且各项均为正整数，如果,那么的最小值为 . 11.设为坐标原点,是以为焦点的拋物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为 . 12.函数在上有定义，若对任意,有, 则称在上具有性质,设在上具有性质，现给出如下命题：①在在上具有性质; ②若在时取得最大值1,则; ③对任意,有. 其中真命题的序号是 . 【答案】②③ 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 14.如果为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）条件。 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分也非必要 15.已知数列为等比数列，前项和为,则下列命题正确的是（ ） A.若,则 B.,则 C.若,则 D.若,则 16.在正方体中，点,分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题： ①对任意点,均存在点，使得; ②存在点,对任意点,均有. 下面判断正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均不正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②正确 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.已知四边形是矩形，平面,点,在线段上（不为端点），且满足,其中 （1）若求直线与直线所成的角的大小。 18.己知函数，； （1）求的单调增区间与值域； （2）在中，,,分别是角,,的对边，已知，，的面积为，求的值。 19. 经市场调查，某商品每吨的价格为万元时，该商品的月供给量 为吨,月需求量为吨, 当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量;当该商品的需求量不大于 供给量时，销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积. （1）若,问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大? （2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于 每吨6百元，求实数的取值范围. 20.已知椭圆的左右焦点分别为,点，为椭圆上两点. （1）若直线过左焦点,求的周长； （2）若直线过点,求的取值范围； （3）若点是椭圆与拋物线在第一象限的交点，是否存在点， 使得线段的中点在抛物线上? 若存在，求出所有满足条件的点的坐标； 若不存在，请说明理由。 21.对于给定数列,若存在一个常数,对于任意,使得成立, 则称数列是周期数列，是数列的一个周期，若是数列的周期，且 均不是数列的周期，则称为数列的最小周期. 已知无穷数列的前项和为,满足:对一切成立 （1）若数列是最小周期为2的周期数列，求数列的通项公式； （2）求证:数列不可能是周期为2021的周期数列； （3）数列是否可能是最小周期为2020的周期数列？若不可能，请说明利用;若可能,求最小的正实数,使得对任意最小周期为2020的周期数列,均有. 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高三年级下学期 4月月考数学试卷 2021.04 一、填空题 1.设集合,则 . 【答案】 【解析】,则。 2.计算: . 【答案】 【解析】。 3.直线的一个方向向量为 . 【答案】 【解析】直线的法向量为，则方向向量为。 4.已知，其中，则 . 【答案】 【解析】。 5.方程的解为 【答案】 【解析】方程化简得，即，。 6.若变量,满足约束条件，且的最大值和最小值分别和，则 . 【答案】6 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图: 由,得,平移直线,由图象可知当直线经过点,直线的截距最小，此时最小由,解得，即,此时,此时。 平移直线,由图象可知当直