专题1.2 三角形中四类重要的最值模型 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）

专题1.2 三角形中四类重要的最值模型 专题讲练 三角形中重要的四类最值模型（将军饮马模型、瓜豆模型（动点轨迹）、胡不归模型、费马点模型等）在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。特殊三角形中的分类讨论则体现了另一种数学思想，希望通过本专题的讲解让大家对这两类问题有比较清晰的认识。 重要模型 模型1：将军饮马模型 【模型图示】 将军 饮马 模型 图形 原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线l的对称点 将军饮马拓展型： 1）点位定点，在直线，上分别找点，，使周长（即）最小 操作：分别作点关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，， 求长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），连结，，，由对称性可求也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三边关系求出 2）点，为定点，直线，上分别找，，使周长（即）小 操作：分别作点，关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，， 例1．（2022·广东·九年级专题练习）已知点，，在x轴上的点C，使得最小，则点C的横坐标为_______． 【答案】 【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为点C，连接AC，则AC＋BC的最小值等于A'B的长，利用待定系数法求得直线A'B的解析式，即可得到点C的坐标． 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为点C， 连接AC，则AC＋BC的最小值等于A'B的长，∵A（1，1），∴A'（1，−1）， 设直线A'B的解析式为y＝kx＋b（k≠0）， 把A'（1，−1），B（3，5）代入得，解得，∴y＝3x−4， 当y＝0时，x＝，∴点C的横坐标为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 变式1．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】当连接BE，交AD于点P时，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值． 【详解】解：连接BE ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线， ∴点C关于AD的对应点为点B，∴BE就是EP+CP的最小值． ∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴BE是△ABC的中线， ∴CE＝AC＝2，∴ 即EP+CP的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键． 例2．（2022·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______. 【答案】 【分析】如图把点A向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时AP+PQ+QB的值最小，求出直线BF的解析式，即可解决问题． 【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小. 设最小BF的解析式为y=kx+b，则有解得 ∴直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2. ∴Q（2.0）故答案为（2，0）. 【点睛】本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型 变式2．（2022·成都市·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小