专题1.1 三角形的证明 重难点题型13个-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）

专题1.1 三角形的证明 重难点题型（13个） 题型1.等腰三角形的性质 【解题技巧】掌握等腰三角形的性质： 1).等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 2).等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。 3).等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。 1．（江苏省苏州市吴江区2021-2022学年八年级上学期12月月考数学试题）等腰三角形的一个角是80°，则它底角的度数是（       ） A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20° 【答案】C 【分析】据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°， ①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°， ②设该等腰三角形的底角是x，则2x+80°=180°， 解可得，x=50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°； 综上，该等腰三角形的底角的度数是50°或80°．故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和定理，列出方程求解是正确解答本题的关键． 2．（2022年江苏省苏州市中考数学真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______． 【答案】6 【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3 ∴AB=AC 当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”； 当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意； 所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6． 【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 3．（2022年广西梧州市中考数学真题）如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解． 【详解】解：∵是的角平分线，∴， ∴，故选项A、D结论正确，不符合题意； 又是的角平分线，， ∴，故选项B结论正确，不符合题意； 由已知条件推不出，故选项C结论错误，符合题意；故选：C． 【点睛】本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可． 4．（陕西省西安市高新一中2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题）如图，中，于点D，于点E，于点F，，则的长为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得CD=BD，从而得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴CD=BD， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，∴DE=4．故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（2022成都市·八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=2，点P在BC上；若点P为BC的中点，则的值为___________．若BC边上有2020个不同的点，P1，P2，P3，…，P2020．且相应的有，，，，则的值为______________． 【答案】4 8080 【分析】（1）根据勾股定理及题意可进行求解； （2）过点A作AD⊥BC交于点D，根据勾股定理可得，，根据平方差公式可得，根据等式的性质可得，由此规律可进行求解． 【解析】解：①AB=AC=2，点P是BC的中点，AP⊥BC，BP=PC， 在Rt△ABP中，，， ②如图过点A作AD⊥BC交BC于点D， AB=AC=2，BD=DC，在Rt△ABD中，，① 在Rt△中，，② ①-②得：， ，同理可得：，，…… ；故答案为4；8080． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理及平方差公式，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理及平方差公式是解题的关键． 6．（2022年福建省南平市初中毕业班综合练习（一）数学试题）已知，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，求证：∠A=2∠CBD． 【答案】见解析 【分析】作AE⊥BC，由等腰三角形三线合一可得AE平分∠A，通过直角三角形中两个锐角互余，利用等量代换证明∠CBD=∠CAE，即可证明∠BAC＝2∠CBD． 【详解】证明：过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∵AB=AC ，   AE⊥BC，∴AE是∠A