专题1.3 特殊三角形中的分类讨论思想 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）

专题1.3 特殊三角形中的分类讨论思想 专题讲练 专题1、等腰三角形中的分类讨论： 【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 1.无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 例1．（2022·保定市初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案． 【解析】解：如图，，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣，0），P3（，0）， 当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键． 变式1．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在中，，，．若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（       ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP，得出即可． 【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC＝8，AC＝6，由勾股定理的：， 如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P1； 以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P2和P3； 作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P4；即共4个点，故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想． 例2．（2022·福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图形，分类讨论，根据三角形全等的性质与判定即可求得点的坐标 【详解】解：如图， 当为直角顶点时，则,作轴， 又,同理可得 根据三线合一可得是的中点，则，综上所述，点C的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 变式2．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，． (1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)A（0，6），B（8，0）；(2)AB=10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）． 【分析】（1）由非负数的性质知OA=6，OB=8，据此可得点A和点B的坐标；（2）根据求解可得；（3）先设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得，再分PA=AB和AB=PB两种情况分别求解可得． (1) 则A点的坐标为A（0，6），B点的坐标为（8，0） (2)， (3)存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形 设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得 ①若PA=AB，则，即，解得a=8(舍)或a=−8，此时点P(−8，0)； ②若AB=PB，即，即解得a=18或a=−2，此时点P(18，0)或(−2，0)； 综上，存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)． 【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键 例3．（2022·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____． 【答案】或或． 【分析】根据题意分类讨论，①，②，③，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可． 【详解】解：①如图，当时， 是等腰直角三角形， ,，； ②如图，当时，过