专题7.8 角度计算中的经典模型【八大题型】-2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题7.8 角度计算中的经典模型【八大题型】 【苏科版】 【题型1 双垂直模型】 1 【题型2 A字模型】 4 【题型3 8字模型】 7 【题型4 飞镖模型】 10 【题型5 风筝模型】 14 【题型6 两内角角平分线模型】 18 【题型7 两外角角平分线模型】 21 【题型8 内外角角平分线模型】 24 【知识点1 双垂直模型】 【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE 同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证. 【题型1 双垂直模型】 【例1】（2022春•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B． （1）求证：CD⊥AB 证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知） ∴∠A+∠B＝90°（　 　） 又∵∠ACD＝∠B（已知） ∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换） ∴∠ADC＝90° （　 　） ∴CD⊥AB． （2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE； （3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36． ①求S△CEF﹣S△ADF的值； ②四边形BDFE的面积是　 　． 【变式1-1】（2022春•润州区期末）已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，分别交BC、BD于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF． 【变式1-2】（2022•绥棱县校级期中）（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系； （2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？ 【变式1-3】（2022春•香洲区期末）如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE． （1）求证：∠EAB＝∠CED； （2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G． ①求证EG⊥AF； ②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】 【知识点2 A字模型】 【条件】△ADE与△ABC. 【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C. 【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A， ∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证. 【题型2 A字模型】 【例2】（2022•江阴市校级月考）如图是某建筑工地上的人字架．这个人字架夹角∠1＝120°，那么∠3﹣∠2的度数为　　． 【变式2-1】（2022春•道里区期末）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（　　） A．180° B．230° C．290° D．295° 【变式2-2】（2022武功县期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC． 【变式2-3】（2022春•新野县期末）旧知新意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： （1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？ 初步应用： （2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝　50°　； （3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　 　． 拓展提升： （4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．） 【知识点3 8字模型】 【条件】AD、BC相交于点O. 【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和) 【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD ∴∠A+∠B=∠C