模型16 全等三角形——半角模型-备战2023年中考数学几何模型专项复习讲与练

全等三角形 模型（十六）——半角模型 一：正方形中的半角模型 【条件】如图①两个角共顶点，②其中一个角（45o）是另一个角（90o）的一半 【结论】①EF=BE+DF ①∶延长CB至点P，使得BP=DF 连接AP, 第一次全等 第二次全等 在△ABP和△ADF中 在△AEP和△AEF中 AB=AD（正方形边长相等） AP=AF ∠ABP=∠ADF=90oº ∠PAE=∠FAE BP=DF（构造） AE=AE ∴ △ABP≌△ADF（SAS） ∴△AEP≌△AEF（SAS） ∴AP=AF ，∠1=∠2 ∴PE=EF ∵∠2+∠3=45oº 即PB+BE=EF ∴∠1+∠3=45oº, ∴DF+BE =EF ∴∠PAE=∠FAE ②EA平分∠BEF，FA平分∠DFE 由①得： △AEP≌△AEF， 则∠4=∠5，∠AFE=∠P 又△APB≌△AFD， ∴∠P=∠AFD， ∴∠AFE=∠AFD ∴EA平分∠BEF，FA平分∠DFE ③△EFC的周长等于正方形边长的2倍 由①得：EF=BE+DF， ∴△EFC的周长＝EF+EC+CF＝BE+DF+EC+CF =BC+DC， ∴△EFC的周长等于正方形边长的 ④ 如图：作AM⊥EF,则AM=AB 过A作AM⊥EF， 则∠AME=∠B=90º。 由①得∠1=∠2，AE=AE， ∴△ABE≌△AME（AAS） ∴AM=AB ⑤ 如图： ∠EAF=45º，则EF²=BE²+FC² 【证明】 如图，过点A作AP⊥AF 且AP=AF.连接PE ∵∠CAB= ∠PAF=90º，∠1=∠2 第一次全等 第二次全等 在△ABP和△ACF中 在△AEP和△AEF中 AB=AC AP=AF ∠2=∠1 ∠PAE=∠FAE AP=AF AE=AE ∴ △ABP≌△ACF（SAS） ∴△AEP≌△AEF（SAS） ∴BP=CF ，∠ABP=∠C=45oº ∴PE=EF ∵∠EAF=45oº 在Rt△PBE中，PE²=PB²+BE² ∴∠1+∠3=45oº, 即EF²=CF²+BE² ∴∠2+∠3 =45oº 见半角，旋全角，盖半角，得半角。 二：等腰三角形中的半角模型 【条件】 如图，△ABC是等边三角形，△BDC 是等腰三角形， 且∠BDC=120°，∠MDN=60o， 【结论】①MN= BM+CN; ②△MAN 的周长等于△ABC边长的 2 倍; ③MD是∠BMN的平分线，ND是∠CNM的平分线 【证明】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°， ∴∠BCD=∠DBC=30°. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC = ∠BAC = ∠BCA=60°, ∴∠DBA= ∠DCA=90°. 延长 AB至点F，使BF=CN，连接DF， 如图.在△BDF 和△CDN 中，DB=DC,∠DBF=∠DCN,BF=CN, ∴△BDF≌△CDN(SAS）， ∴∠BDF=∠CDN,∠F=∠CND,DF=DN. ∵∠MDN=60°, ∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°， 即∠FDM=60°=∠MDN. 在△DMN 和△DMF 中，DN=DF,∠MDN= ∠MDF, DM=DM, ∴△DMN≌△DMF（SAS）， ∴ MN=MF=BM+CN, ∠F=∠MND=∠CND，∠FMD=∠DMN， ∴△AMN的周长是 AM＋AN＋MN=AM＋MB＋CN＋AN=AB＋AC=2边长. 三：对角互补且邻边相等的半角模型 【条件】如图，∠B＋∠D=180°，∠BAD= 2∠EAF，AB=AD， 【结论】①EF=BE+FD; ②EA 是∠BEF的平分线，FA是∠DF