模型15 全等三角形——雨伞模型-备战2023年中考数学几何模型专项复习讲与练

全等三角形 模型（十五）——雨伞模型 【条件】AP是∠BAC的平分线，BO⊥AP 【结论】①△ABO≌△ADO，②AB=AD，③OB=OD 角平分线＋垂直＝延长 【证明】延长BO交AC于D， 在△BAO和△DAO中 ∠BAO＝∠DAO AO＝AO ∠AOB＝∠AOD ∴△BAO≌△DAO ∴AB＝AD,OB＝OD 角平分线+垂线,轻轻延长等腰现 1．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于两点，且满足，且是常数，直线平分，交x轴于点D． （1）若的中点为M，连接交于点N，求证：； （2）如图2，过点A作，垂足为E，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想． 1．（2022·广东·丰顺县小胜中学九年级开学考试）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF是平行四边形 （2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论     2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 1．在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD． （1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小； （3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 全等三角形 模型（十五）——雨伞模型 【条件】AP是∠BAC的平分线，BO⊥AP 【结论】①△ABO≌△ADO，②AB=AD，③OB=OD 角平分线＋垂直＝延长 【证明】延长BO交AC于D， 在△BAO和△DAO中 ∠BAO＝∠DAO AO＝AO ∠AOB＝∠AOD ∴△BAO≌△DAO ∴AB＝AD,OB＝OD 角平分线+垂线,轻轻延长等腰现 1．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD； （2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形． 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于两点，且满足，且是常数，直线平分，交x轴于点D． （1）若的中点为M，连接