17.1勾股定理（讲+练）-2022-2023学年八年级数学下册同步知识+题型培优讲义（人教版）

17.1勾股定理 1．经历勾股定理的探索过程，并会用它进行相关的计算． 2．理解勾股定理的证明，会用类似方法解决正方形相关的面积问题． 1、 勾股定理探索 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为c， 那么 +． 即直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方 需要注意的是： （1）如上图所示：勾——短的直角边，股——长的直角边，弦——斜边． （2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形． 2、 勾股定理的证明 1.赵爽的“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”） 如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a，b(b),斜边c，中间是正方形，且边长为b-a. 而4个直角三角形的面积为4, 中间小正方形面积为 =4+, 即+． 2.邹元治的证明 如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，中间 是正方形，且边长为c。 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 +=2ab+, 大正方形面积 ， 且四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积， =2ab+ 即+． （3)1976年美国总统伽菲尔德的证明 如图是由2个以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角 形拼成的直角梯形. , S=ab+ =ab+ 即+． 3、 简单应用 思考1： 数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？ 思考2： 你能在数轴上画出表示 的点吗？ 分析： 如果能画出长为，的线段，就能在数轴上画出， 如果我们把，当成直角三角 形的斜边，我们只要找到它们对应的正整数直角边就可以了（正整数长度的线段我们是可以画出来 的．），然后通过构造直角三角形解决． 思考1作法：在数轴上构造直角三角形，利用勾股定理来确定． 思考2：我们知道了长为 的线段是两条直角边都为1的直角三角形的斜边． 利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2和3的直角三角形的斜边长为 ，由此我们可以 依照如下方法在数轴上找到表示的点。 作法： ①在数轴上找到点A，使OA=3 ②过点A作直线L ,在L上取点，使AB=2 ③以O为圆心， OB为半径画弧，与数轴交于点C，C即是表示的点． 总结： 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到它的对应点，若要在数轴上直接标出无理数 对应的点较难，由此，我们可构造直角三角形，利用勾股定理来确定 从图中两个较小的正方形出发，又可以分别作出一个类似的图形，就这样一生二、二生四、四生八，继 续繁殖下去，就长成了美丽的勾股树． 题型一 【例题1】一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（    ） A．169 B．119 C．13 D．169或119 【变式1-1】在中，，，，则的长为（　　） A．3 B．3或 C．3或 D． 【变式1-2】若直角三角形的两边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1-3】如图，中，，，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】在平面直角坐标系中，点到原点距离为（    ） A．6 B． C．10 D．8 【变式1-5】已知点是点关于y轴的对称点，则坐标原点O与点B之间的距离为（　　） A． B． C．3 D．2 【变式1-6】线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，线段的长为（    ） A．5 B． C．4 D．3 【变式1-7】在平面直角坐标系中，点P的坐标是，则点P到原点的距离是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【同步测试1-1】如图，中，，平分，交于点，于，若，，则的长为 __． 【同步测试1-2】仔细观察图形，以点为圆心的弧线与轴交于点，则点的坐标为______． 【同步测试1-3】如图，，，点在射线上，若为钝角三角形，则线段长的取值范围是______. 【同步测试1-4】已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为__． 【同步测试1-5】在△AMB中，，，，将以B为旋转中心顺时针旋转得到．连接，求的长． 【同步测试1-6】如图，已知点是中边上的一点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【同步测试1-7】在同一平面内的两个图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M，N间的“最距离”，记作：． 如图，