6.2.3向量的数乘运算（精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

6.2.3向量的数乘运算 (精讲） 目录 一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究 题型1: 几何图形中用已知向量表示未知向量 题型2：向量共线的判定 题型3：利用向量共线证明线线平行 题型4：利用向量共线定理判断三点共线 题型5：利用向量共线定理求参数 三、高考（模拟）题体验 一、必备知识分层透析 知识点1：向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. （2）向量数乘的几何意义 对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． 实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． （3）向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： ①结合律： ②第一分配律： ③第二分配律： 知识点2：向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有. 知识点3：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 二、重点题型分类研究 题型1: 几何图形中用已知向量表示未知向量 典型例题 例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方形中，点是的中点，点满足，那么 A． B． C． D． 例题2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二校考期中）在中，，，，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 例题3．（多选）（2022·高一单元测试）在等边三角形中，与交于点,则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．D． 同类题型演练 1．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（       ） A． B． C． D． 2．（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）在中，设，，又，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·广西百色·高一统考期末）在中，P为AB上的一点，且，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型2：向量共线的判定 典型例题 例题1．（2022春·甘肃定西·高二统考开学考试）对于非零向量、，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（2022·河南·校联考三模）已知、、均为非零向量，且，，则（    ） A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反向 同类题型演练 1．（2022·高一课时练习）已知，，求证：与共线． 题型3：利用向量共线证明线线平行 典型例题 例题1．（2022·高一课时练习）已知在四边形ABCD中，＝＋2，＝－4－，＝－5－3，求证：四边形为梯形． 例题2．（2022·高一课时练习）如图，已知四边形的两条对角线相交于点，.用平面向量证明四边形是平行四边形. 同类题型演练 1．（2022·高一课时练习）在中，已知.用平面向量证明且. 题型4：利用向量共线定理判断三点共线 典型例题 例题1．（2023·广东·高三统考学业考试）已知向量，不共线，若，，，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 例题2．（2022春·江西南昌·高二统考期末）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　） A． B． C． D． 例题3．（2022秋·江苏扬州·高一统考期中）已知，为不共线的向量，且，，则（    ） A．共线 B．共线 C．共线 D．共线 同类题型演练 1．（2022·高一课时练习）已知，则下列结论中成立的是（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 2．（2022·高一课时练习）已知，则共线的三点为（    ） A． B． C． D． 题型5：利用向量共线定理求参数 典型例题 例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（    ） A．2 B． C． D． 例题2．（2022秋·江苏淮安·高一统