专题10.2 求数列通项-备战2023年高考数学真题+基础知识+题型方法+高考必刷（新高考专用）

专题10 数列 2.求数列通项 【高考真题】 合并于《3.数列求和》 【基础知识】 1．Sn和an关系法求数列通项（作差法）： (1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． (2)Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 2．累加法 当出现an＋1＝an＋f (n)时，用累加法求解． 3．累乘法 当出现＝f (n)时，用累乘法求解． 4．构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式； 2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好； 3、构造等比数列 类型2：用“同除法”构造等差数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2的标准形式； 2、两边同除； 3、构造数列为等差数列 类型3：用两边同时取倒数构造等差数列（1） 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式； 2、两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型； 3、构造数列为等差数列. 类型3：用“同除法”构造等差数列（2） 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式； 2、两边同除； 3、构造出新的等差数列 类型4：用“待定系数法”构造等比数列 an＋1＝pan＋qan－1 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式； 2、可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根； 3、若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}． 【题型方法】 一、利用an与Sn的关系求数列通项 1．若数列的前n项和为，则通项公式_____________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，不适合上式， ∴， 故答案为:. 2．已知数列{}的前项和为，若，则___． 【答案】 【详解】当时，， 当且时，， 而，即也满足， ∴，. 故答案为：. 3．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an+n，则{an}的通项公式为an＝__． 【答案】 【详解】因为Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an+n， 所以Sn﹣1＝2an﹣1+（n﹣1），， 所以an＝2an﹣2an﹣1+1，， 所以an＝2an﹣1﹣1，， 即an﹣1＝2（an﹣1﹣1），， 所以数列{an﹣1}是公比为q＝2的等比数列， 又a1＝2a1+1，所以a1＝﹣1， 所以， 所以， 所以{an}的通项公式为． 故答案为： 4．已知数列为的前项和，，则__________. 【答案】 【详解】，① ，② ①-②得：， ， 又，所以 所以 故答案为： 5．数列满足，则______． 【答案】 【详解】因为， 当时，， 当时，， 两式相减可得，即 当时，也成立， 综上可知， 故答案为： 6．已知数列满足，则___________. 【答案】 【详解】记数列的前n项和为，则由题知，当时，；当时，，所以. 故答案为： 7．设数列满足，则an＝________． 【答案】 【详解】① 当时，； 当时，② ①②得，当也成立. 即 故答案为： 8．数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n+1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________． 【答案】3n 【详解】当时，， 当时，由a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3， 得a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3， 两式相减得， 所以，又， 所以， 故答案为： 二、累加法求数列通项 1．己知数列满足，则其通项公式________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，，，…，， 把以上个式子相加，得， 即，所以. 故答案为：. 2．已知，，则______. 【答案】 【详解】数列中，，， 则当时，， 而满足上式，即， 所以. 故答案为： 3．数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________. 【答案】820 【详解】因为an＋1－an＝n＋2， 所以a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，…，an－an－1＝n＋1(n≥2)． 上面(n－1)个式子左右两边分别相加得an－a1＝(n≥2)， 即an＝(n≥2)． 当n＝1时，a1＝3适合上式， 所以，n∈N*， 所以＝820. 故答案为：820. 4．设数列满足，则=_______. 【答案