24.1.2 垂直于弦的直径（课件）-九年级数学上册同步辅导微课（人教版）

垂直于弦的直径 主讲：黄继彬 (1)圆是轴对称图形,对称轴是 任意一条过圆心的直线; 1.圆的对称性： ● O (2)圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 例如：∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM=BM，AD=BD，AC=BC. 2.垂径定理:垂直于弦的直径平分这 条弦,并且平分弦所对的弧. ● O A B C D M 3.适用垂径定理的几种常见图形: ● O A B C D M ● O A B M ● O A B C M ● O A B D M ● O A B C M ∴CD⊥AB,AD=BD,AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 4.垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧. 例如:∵CD为⊙O的直径,弦AB不经过圆心,且AM=MB 反例 ● D C A B O(M) ● D C A B O M 5.垂径定理及其推论的概括: (1)一条直线经过圆心; 满足其中任意 两条,必定同时 满足另外三条. (2)这条直线垂直于弦; (3)这条直线平分弦; (4)这条直线平分弦所对的优弧; (5)这条直线平分弦所对的劣弧. M ● B A C D O 例如:(1)AB过圆心;(2)AB⊥CD;(3)CM=DM;(4)BC=BD;(5)AC=AD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （1） （2） （3） （4） （5） （1） （3） （2） （4） （5） （2） （3） （1） （4） （5） …… 例1.判断题: (1)平分弦的直径,平分这条弦所对的弧; ( ) (2)平分弦的直线,必定过圆心; ( ) (3)一条直线平分弦(不是直径),那么该直线垂直这条弦;( ) (4)弦的垂直平分线一定是圆的直径; ( ) (5)平分弧的直线,平分这条弧所对的弦; ( ) (6)弦垂直于直径,这条直径就被弦平分. ( ) × × × × × × 例2.已知:如图在⊙O中,弦AB的长是8cm,圆心O到AB的距离为3cm. 求:⊙O的半径. 答:⊙O的半径为5cm. 解:连接OA,作OE⊥AB于点E,则OE=3cm, 根据垂径定理,有 在Rt△AOE中,根据勾股定理,得 · O A B E 注意:从本例可以看出圆的半径OA、圆心到弦的垂线段OE和半弦 长AE构成Rt△AOE,把垂径定理和勾股定理结合起来,是解决 这类问题的常用方法. 例3.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆 于C、D两点.求证：AC＝BD. A C D B O 证明: 过点O作OE⊥AB,垂足为E,则 根据垂径定理,得AE=BE,CE=DE ∴AE-CE=BE-DE ∴AC=BD E · 注意:在圆中,解有关弦的问题时,常常需要作出“垂直于弦的直径” 作为辅助线.实际上,往往只需从圆心作弦的垂线段即可. 例4.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB 于D,OE⊥AC于E,求证:四边形ADOE是正方形． ∴四边形ADOE为矩形 又∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 矩形ADOE为正方形. 证明: ∵OE⊥AC,OD⊥AB,AC⊥AB ∴∠OEA=∠ODA=∠BAC=90° D · O A B C E ∟ ∟ 例5.若⊙O的半径为10cm,弦MN∥EF,MN=12cm,EF=16cm,求弦MN和EF之间的距离. 综合(1)、(2)可得,弦MN和EF之间的距离14cm或2cm. ● M N E F 6 10 A B 10 8 8 6 O ● M N E F A B O 连接OM和OE,得到Rt△OAM和Rt△OBE, 根据勾股定理,得 ∴ AB=OA+OB=8+6=14(cm) 解:分两种情况: 过圆心O作MN、EF的公共垂线AB,垂足分别为A、B,根据垂径定理,有 (1)弦MN和EF处在圆心的两旁,如图① (2)弦MN和EF处在圆心的同旁,如图② 同理可得OA=8cm,OB=6cm ∴ AB=OA-OB=8-6=2(cm) 解:如图,设半径为R,则AB=37.4,CD=7.2, 在Rt△AOD中,由勾股定理,得 解得 R≈27.9(m) 答:赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 例6.赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m, 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ R 18.7 R-7.2 · A B C O D 7.2 (1)作法： 1.连结AB.