6.2.3 向量的数乘运算-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

6.2.3　向量的数乘运算 【考点梳理】 考点一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 考点二　向量数乘的运算律 1 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 考点三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【题型归纳】 题型一：向量的数乘运算 1．（2022秋·北京·高一中关村中学校考期中）如图，在中，为线段上的一点，且 ，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2021秋·福建南平·高一）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为（    ）． A． B． C． D． 3．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）如图，已知，用，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 题型二：平面向量的混合运算 4．（2022秋·浙江台州·高一统考期末）的化简结果为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·高一单元测试）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2021秋·福建福州·高一校联考期中）在五边形中，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型三：向量的线性运算的几何应用 7．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2022秋·山东临沂·高一统考期中）已知是直角三角形内的一点，直角三角形斜边长为4，若点在上，满足，则等于（    ） A．4 B．2 C．1 D． 9．（2022秋·四川凉山·高一统考期中）已知为△ABC内任意一点，若满足则（    ） A． B． C． D． 题型四：三角形的心的向量表示 10．（2021秋·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 11．（2022秋·天津和平·高一校联考期末）在中，，，，若，则实数 A． B． C． D． 12．（2020秋·天津静海·高一静海一中校考阶段练习）点是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【双基达标】 一、单选题 13．（2022·全国·高一假期作业）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数λ的值为（　 ） A．1 B． C．1或 D．或 14．（2022秋·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 15．（2022·高）在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（2022·高一）在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 17．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 18．（2022秋·湖南·高一校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，相交于点，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C． D． 19．（2022秋·甘肃酒泉·高一校考期中）在四边形中，若，且，则该四边形一定是（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 20．（2022秋·河北唐山·高一校联考期中）在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则下列关系式成立的是（      ） A． B． C． D． 21．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）若，则__． 22．（2022·高一单元测试）平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简_____________． 23．（2022·高一）计算： (1)； (2). 【高分突破】 一、单选题 24．（2022·高一单