1.1 等腰三角形-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(北师大版)

1.1 等腰三角形 知识点一 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 知识点二 等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） 知识点三 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”） 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 题型一 等腰三角形的性质（角度问题） 【例题1】如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE． （1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数； （2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由． 解题技巧提炼 掌握等腰三角形的性质： 1).等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 2).等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。 3).等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。 【变式1-1】等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是 （ ） A． B．或 C．或 D． 【变式1-2】我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若，则该等腰三角形的顶角为______________度． 【变式1-3】如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数； （2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数． 【变式1-4】如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变化时，△EPC的形状也随之改变． （1）当∠A＝44°时，求∠BPD的度数； （2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量y与x的关系式； （3）当△EPC是等腰三角形时，请直接写出∠A的度数． 【变式1-5】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AC＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β． （1）求证：∠ABD＝∠ADC； （2）当∠AED＝65°时，求β﹣2α的度数； （3）α+2β＝180°时，求证：BD＝CD． 题型二 等腰三角形的性质（周长问题） 【例题2】如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为　 　． 解题技巧提炼 掌握等腰三角形的性质： 1).等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 2).等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。 3).等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。 【变式2-1】如图，顶角为120°，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A．1 B．2 C． D． 【变式2-2】已知：如图，△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE=AC，且BF=18，CF=12，那么AF的长度为_______． 【变式2-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若DE＝6cm，EC＝1cm，则四边形ABFD的周长为　 　cm． 【变式2-4】一个等腰三角形的周长为28cm． （1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长； （2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长． 【变式2-5】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD． （1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数； （2）若△BCD的周长为16cm，△ABC的周长为26cm，求BC的长． 题型三 等腰三角形的性质（多结论问题） 【例题3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解题技巧提炼 凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 【变式3-1】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上一点与AC上一点到D的距离相等