6.3.1 二项式定理（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.1 二项式定理 第6章计数原理 人教A版2019必修第三册 学习目标 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.通过学习二项式定理的有关内容，提升逻辑推理素养及数学运算素养. 牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发现，有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去． 问题　什么是二项式定理？ 情境引入： 2. 组合数公式： 1. 排列数公式： 其中m，n∈N* 且 m≤n，规定 3. 组合数性质： 复习巩固： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 (a＋b)4＝_________________________ …… (a＋b)n＝_____________________________________________ 探究 我们知道， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. (1) 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律? (2) 根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗? (3) 进一步地，你能写出(a＋b)n的展开式吗? a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 二项式定理： —此公式叫做通项公式. 上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式， 它一共有 n＋1 项，其中各项的系数 叫做二项式系数. 二项展开式中的 叫做二项展开式的通项，用 来表示，即通项为展开式第k＋1项，即 1. 系数规律： 2. 指数规律： (1)各项的次数均为n； (2)各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n. 3. 项数规律： 两项和的n次幂的展开式共有n+1个项 . 4. 通项公式: 二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项、特定项系数、以及数、式的整除方面有广泛应用 . 定理的特征： 二项式定理： 注意： (1) 展开式的第k+1项(通项)为 其中 叫做二项式系数，它与第k+1项的系数是两个不同的概念 . (2) 它可表示二项展开式中的任意项，只要n与k确定，该项也随即确定； (3) 表示的是第k+1项，而不是第k项； (4) 中a, b的位置不能颠倒, 且它们指数和一定为 n. (5) 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设a＝1, b＝x，则有 例1 求 的展开式 . 解：根据二项式定理，可得 例2 解：(1) 由通项公式，可得 (2) 由通项公式，可得 课堂练习 解： 解： 由通项公式，可得 解： 由通项公式，可得 解： 由通项公式，可得 含x4的项是由5个括号中任意4个括号各取出1个x，剩余1个括号取出常数相乘得到的，故含x4的项的系数是 解： 随堂检测 解析　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n. 答案　C A．33 B．29 C．23 D．19 3．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是(　　) A．－5 B．5 C．－10 D．10 答案　240 6. 求的展开式 解： + 7．已知．求： （1）展开式中第4项的二项式系数； （2）展开式中第4项的系数； （3）展开式的第4项． 解：的展开式通项为： 其中0≤k≤10 且 k∈N. （1）展开式中第4项的二项式系数为 （2）展开式中第4项的系数为 （3）展开式的第4项为 8．在二项式的展开式中， （1）求展开式中含项的系数： （2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值. 解：（1）设第k+1项为 令解得k=2 所以展开式中含项的系数为 （2）∵第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数为， 因为， 所以3k-1=k+1，解得k=1或k=3. 9．已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求n； （2）求含x2的项的系数； （3）求展开式中所有的有理项