6.2.4 组合数（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.4 组合数 第6章计数原理 人教A版2019必修第三册 学习目标 1.能利用计数原理推导组合数公式. 2.能解决有限制条件的组合问题. 3.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提升逻辑推理及数学运算素养. 某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种？ 情境引入： 问题　上述问题情景中，是一个较为复杂的组合问题，如何用组合数解决此问题？ 类比排列数，我们引进组合数概念： 组合数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 组合的第一个字母 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为 从4个不同元素中任取3个元素的组合数为 符号 中的C是英文combination (组合)的第一个字母. 组合数还可以用符号 表示. 思考： 探究 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢? 3个不同元素a, b, c中取出2个共有ab, ac, bc 3个不同的组合， 4个不同元素a, b, c, d中取出3个共有abc, abd, acd, bcd 4个不同的组合， 4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素的排列数为 3个不同元素a, b, c中取出2个元素的排列数为 下面我们就来探究 从3个不同元素a, b, c中取出2个元素 从4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素 组合 ab 排列 ac bc ab ba ac ca bc cb 由此可得 组合 abc 排列 abd acd abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 由此可得 这里的n, m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式. 组合数公式： 另外，我们规定 所以上面的公式还可以写成 解： 例6 计算： 思考 此关系是否具有一般性？ 性质1 性质2 性质1 性质2 组合数的性质： 例7 在100件产品中, 有98件合格品, 2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1) 有多少种不同的抽法? (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 解： (1) 所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 (2) 从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 （3）解1(直接法)： 解2(间接法)： 抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 课堂练习 解： 1. 计算： 证明： 2. 求证： 3. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩. (1) 共有多少种不同的选法? (2) 如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法? (3) 如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法? 解： 随堂检测 1. 若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（ ） A．64 B．46 C．15 D．360 C 2. 从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（　　） A． 种 B．3！ C． 种 D．以上均不对 C 3. 若 ，则 n= （ ） A．4 B．6 C．7 D．8 D 4. 十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、