6.2.3 组合（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.3 组合 第6章计数原理 人教A版2019必修第三册 学习目标 1.通过实例理解组合的概念. 2.会解决简单的组合问题. 3.通过学习组合的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养. 在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表，问共有多少种选择方案？ 这样的问题就是本节课要重点研究的问题． 问题　如何解决上述情境中的问题？ 提示　从5名候选人中选取3人担任代表，共有10种不同的选择方法． 情景引入 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 解析：从三名学生中选出两名学生，然后将选出的两名学生按照一定的顺序（上午和下午）进行排列，共有 种方法. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲乙、甲丙、乙丙 上面两个问题有什么区别？ 答：（1）第一个问题是从已知的3个不同元素中每次取出2个元素 ,按照一定的顺序排成一列。不仅要选出2个元素，而且要对所选出的元素进行按照一定的顺序排列。 （2）第二个问题是从已知的3个不同元素中取出2个元素 ,不需要按照一定的顺序排列. 组合 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 要点归纳： (1)组合的特点:组合要求n个元素是不同的,取出的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性:元素的无序性.取出的m个元素不讲究顺序,即元素没有位置的要求. 相同点：两者都是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素. 思考：排列与组合有什么异同点？ 不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的； 两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的. 排列与顺序有关 组合与顺序无关 校门口停放着9辆共享单车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，则 思考：下列问题是排列问题还是组合问题？ （1）从中选择3辆，有多少种不同的方法？ （2）从中选择3辆给3位同学，有多少种不同的方法？ 组合问题 排列问题 例5 平面内有A，B，C，D共4个点. （1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ 解：一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为： （2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 解：由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有：AB、AC、AD、BC、BD、CD六条. 课堂练习 1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛. (1) 列出所有各场比赛的双方； (2) 列出所有冠、亚军的可能情况. 解：(1) 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁. (2) 冠军 甲 甲 甲 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丁 丁 丁 亚军 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙 解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4个. 2. 已知平面内A, B, C, D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形. 3. 现有1, 3, 7, 13这4个数. (1) 从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和? (2) 从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差? 解：(1) 不相等的和为4, 8, 14, 10, 16, 20，共6个. (2) 不相等的差为－2, －6, －12, 2, －4, －10, 6, 4, 12, 10，共10个. 随堂检测 1．(多选题)给出下列问题： ①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？ ③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中是组合问题的是(　　) A.① B．② C．③ D．没有 解析　①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选BC. 答案　BC 2．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有(　　) A．36个 B．24个 C．18个 D．6个 3．某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　) A．14 B．24 C．28 D．48 解析　可分类完成．第1类，选派1名女生、3名男生，有2×