6.2.2 排列数（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.2 排列数 第6章计数原理 人教A版2019必修第三册 学习目标 1.能利用计数原理推导排列数公式. 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. 前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式. 排列数： 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 排列的第一个字母 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如，前面问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6 ， 可记作： 问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24 ， 可记作： 符号 中的A是英文arrangement(排列)的第一个字母 探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少? 我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排列数 是多少？ 排列数 可以按依次填2个空位得到： 同理，排列数 可以按依次填3个空位得到： 那么排列数 就可以按依次填m个空位得到： ··· ? 例如： 排列数公式的特点： 1. 公式中是m个连续正整数的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1). 全排列数： 1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列 . 全排列数为: 排列数公式： 2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即 例3 计算：（1） （2） （3） （4） 解：根据排列数公式可得 （1） =7 x 6 x 5 = 210 （2） =7 x 6 x 5 x 4 = 840 （3） ==7 x 6 x 5 = 210 （4） =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720 思考 由例3可以看到， 观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？ 证明： 排列数公式的阶乘形式： 排列数公式的应用： 连乘形式一般用于的计算， 阶乘形式用于化简或证明. 例题 证明： 证明： 例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊元素. 解法一：由于三位数的百位上不能是0，所以可以分两步完成： 根据分步乘法计数原理，所求三位数的个数为： 第一步：确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取1个，有 种取法； 第二步：确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取2个，有 种取法； 解法二：符合条件的三位数可以分三类： 根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为： 第一类：每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有 种取法； 第二类：个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在十位和百位，有 种取法； 第三类：十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在个位和百位，有 种取法； 例题讲解 解法三：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为： 排队问题的解题策略（相邻、不相邻、定序等问题）： (1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列. (2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中. (3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数. (4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决. 课堂练习 解： 1. 计算： 2. 求证： 证明： 课本P20 3. 一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法? 解：不同的停放方法有 随堂检测 1.A 等于 A.9×3 B.93 C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3 √ 2.89×90×91×92×…×100可表示为 √ 3.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学