专题06 函数的概念-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题06函数的概念 【考点预测】 1、函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． （3）函数表示法：函数书写方式为， （4）函数三要素：定义域、值域、对应法则． （5）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同． 2、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 3、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 4、分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【题型归纳目录】 题型一：函数的概念 题型二：同一函数的判断 题型三：给出函数解析式求解定义域 题型四：抽象函数定义域 题型五：函数定义域的应用 题型六：函数解析式的求法 1、待定系数法（函数类型确定） 2、换元法或配凑法（适用于了型） 3、方程组法 题型七：函数值域的求解 1、观察法 2、配方法 3、图像法 4、基本不等式法 5、换元法 6、分离常数法 7、判别式法 题型八：分段函数的应用 【典例例题】 题型一：函数的概念 例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求 故选：D 例2．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，不满足：的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A中，B中，C中，D中 例3．（2023·全国·高三专题练习）下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A，由得是函数关系； 对B，由，得是函数关系； 对C，由，得，此时值不唯一，不是函数关系； 对D，由，得是函数关系， 故选：C 变式1．（2023春·福建龙岩·高三校考阶段练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（     ） A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点， 若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点， 故选：B. 变式2．（2023·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足. 故选：C. 【方法技巧与总结】 利用函数概念判断 题型二：同一函数的判断 例4．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A选项，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数； 对于B选项，的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 对于C选项，，的定义域为，，的定义域为，定义域和对应关系都不相同，所以两个函数不是同一函数； 对于D选项，，，定义域、值域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数. 故选：D. 例5．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确； 对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误； 对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误； 对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误. 故选：A. 例6．（2023·全国·高三专题练习）以下各组函数中，表示同一函数的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，，对应法则不同，故不是同一函数； 对于B，的定义域为