专题03 等式与不等式的性质-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题03等式与不等式的性质 【考点预测】 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 【方法技巧与总结】 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性. 比较法又分为作差比较法和作商比较法. 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论. 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小. 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 【题型归纳目录】 题型一：不等式性质的应用 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 题型四：不等式的综合问题 【典例例题】 题型一：不等式性质的应用 例1．（2023·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，不妨令，，可得，，故A不正确． 可得，，，故B不正确． 可得，，，故C不正确． 故选：D． 例2．（2023·全国·高三专题练习）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A中，由，因为，可得，因为不确定，所以A错误； 对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误； 对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误； 对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确. 故选：D 例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若则. B．若则. C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】若，则，又，则，A选项正确； 若，满足，但，不成立，B选项错误； 若，，满足，但，不成立，C选项错误； ，则，又，∴，即，D选项正确. 故选：AD 变式1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】当时，如，时成立，A错； 若则一定有，所以时，一定有，B正确； ，但，C错； ，则，D正确． 故选：BD． 变式2．（多选题）（2023·福建三明·模拟预测）设，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】 因为，，所以，的符号不能确定， 当时，，故A错误， 因为，，所以，故B正确， 因为，所以，故C正确， 因为，所以，所以，所以，故D错误， 故选：BC 【方法技巧与总结】 1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2、充分利用基本初等函数性质进行判断． 3、小题可以用特殊值法做快速判断． 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 例4．（2023·全国·高一）（1）试比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【解析】 （1）由题意， ， 所以． （2）证明：因为，所以，即， 而，所以，则．得证． 例5．（2023·湖南·高一课时练习）比较与的大小． 【解析】 , <. 例6．（2023·全国·高三专题练习）设，，则s与t的大小关系是________. 【答案】 【解析】, . 故答案为：. 变式3．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小； （2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小. 【解析】（1）∵a，b均为正实数， ∴，即≥. （2）由. ①当a=0时，0，则； ②当a<1且a≠0时，0，则； ③当a>1时，0，则. 综上，当a=0时，；当a<1且a≠0时，；当a>1时，. 【方法技巧与总结】 比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性. 比较法又分为作差比较法和作商比较法. 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论. 其中变形是关键，变形的方法主要