三 等式性质与不等式性质及基本不等式-【快乐假期】2022-2023学年高一数学寒假作业（新教材，人教A版）

　　　　　　　　　　 1．不等式的性质 性质1：a>b⇔b________a. 性质2：a>b，b>c⇒a________c. 性质3：a>b⇒a＋c________b＋c. 性质4：①a>b，c>0⇒ac________bc. ②a>b，c<0⇒ac________bc. 性质5：a>b，c>d⇒a＋c________b＋d. 性质6：a>b>0，c>d>0⇒ac________bd. 性质7：a>b>0⇒an________bn(n∈N，n≥2)． 性质8：a>b>0⇒________(n∈N，n≥2)． 2．对于任意实数a，b有a2＋b2________2ab，当且仅当________时等号成立． 3．对任意两个正实数a、b，叫做a，b的________，叫做a，b的________． 4．基本不等式 (1)形式：________； (2)成立的前提条件：________； (3)等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 5．基本不等式与最值 已知x、y都是正数， (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得________． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得________． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 1．＜　＞　＞　＞　＜　＞　＞　＞　＞ 2．≥　a＝b 3．算术平均值　几何平均值 4．(1)≤　(2)a>0且b>0　(3)a＝b 5．(1)最大值　(2)最小值2 应用基本不等式的常用技巧 在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑项是常用的解题技巧．除此之外还有以下特殊技巧： (1)常值代替 这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＋的最小值．”和“已知＋＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型 (2)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围． (3)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件． 1．下列命题正确的是(　　) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000” B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x＞y” C．某变量x至少是a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≥a” 2．下列命题正确的是(　　) A．函数y＝x＋的最小值为2 B．若a，b∈R且ab>0，则＋≥2 C．函数＋的最小值为2 D．函数y＝2－3x－的最小值为2－4 3．若a>b>0，则下列不等式成立的是(　　) A．a>b>> B．a>>>b C．a>>b> D．a>>>b 4．若a，b，c为实数，则下列命题不正确的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若a<b<0，则a2<b2 C．若a>b>0，则< D．若a<b<0，c>d>0，则ac<bd 5．(2020·山东卷，11)(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥　　　　　B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤ 6．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋b＋≥2　B.≥ C.≥a＋b D．(a＋b)≥4 7．(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小关系为________． 8．对于实数a，b，c，给出下列命题： ①若a＞b，则ac2＞bc2； ②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2； ③若a＞b，则a2＞b2； ④若a＜b＜0，则＞. 其中正确命题的序号是________． 9．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________. 10．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元． 11．已知a＞b＞0，c＜d＜0.求证： ＜ . 12．(1)已知0＜x＜，求y＝2x－5x2的最大值； (2)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求＋的最小值． 1．(2022·新高考Ⅱ卷，12)(多选)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 2．(2021·天津卷，13)若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 假期作业(三) 技能提升台　技能提升 1．C　2.B　3.B　 4．B　[对于A，若ac2>bc2，则a>b，故正确；对于B，根据不等式的性质，若a<b<