专题06 半角模型综合应用（专项训练）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题06 半角模型综合应用（专项训练） 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，M、N是斜边AB上的两点，且∠MCN＝45°，AM＝3，BN＝5，则MN＝　 　． 【答案】 【解答】解：将△CBN逆时针旋转90度，得到三角形ACR，连接RM 则△CRA≌△CNB全等，△RAM是直角三角形 ∴AR＝BN＝5， ∴MN＝RM＝＝ 故答案是： 2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，CN＝5，MN＝　　． 【答案】13 【解答】解：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15， ∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AB＝30， 把△ACN绕点A顺时针旋转90°得到△ABD，连接MD，如图所示： 则∠ABD＝∠C＝45°，BD＝CN＝5，∠DAN＝90°，AD＝AN， ∴∠DBM＝45°+45°＝90°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠MAD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠MAD＝∠MAN， 在△AMD和△AMN中，， ∴△AMD≌△AMN（SAS）， ∴MD＝MN， 设MD＝MN＝x， 则BM＝BC﹣MN﹣CN＝25﹣x， 在Rt△DBM中，由勾股定理得：BD2+BM2＝MD2， 即52+（25﹣x）2＝x2，解得：x＝13， ∴MN＝13； 故答案为：13． 3．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E是BC边上的任意两点，且∠DAE＝45°． （1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF． （2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． （3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN＝MN，试求∠MAN的大小． 【解答】解：（1）完成图形， （2）连接EF， 由旋转可知，AF＝AD，CF＝BD，∠DAF＝90°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠DAE＝∠FAE＝45°， 在△DAE和△FAE中， ， ∴△DAE≌△FAE（SAS）， ∴EF＝DE， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠ACF＝45°， ∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°， ∴EF2＝EC2+FC2， ∴DE2＝EC2+BD2； （3）将△ADN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图： 由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠D＝90°， ∴E，B，M三点共线， ∵BM+DN＝MN， ∴ME＝MN， 在△AEM和△ANM中， ， ∴△AEM≌△ANM（SSS）， ∴∠MAE＝∠MAN＝45°． 4．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点C，使DG＝BE，连接EF、AG，求证：EF＝FG； （2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的长． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，∵在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∴∠EAG＝90°， 在△FAE和△GAF中， ， ∴△FAE≌△△FAG（SAS）， ∴EF＝FG； （2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°． ∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°． 在△ABM和△ACE中， ， ∴△ABM≌△ACE（SAS）． ∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE． ∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°． 于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°． 在△MAN和△EAN中， ， ∴△MAN≌△EAN（SAS）． ∴MN＝EN． 在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2． ∴MN2＝BM2+NC2． ∵BM＝2，CN＝3， ∴MN2＝22+32， ∴MN＝． 5．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N． （1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN＝MN； （2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明） 【解答】解：（1）猜想：BM+DN＝MN， 证明如下： 如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE， 在△ABE和△ADN中，， ∴△ABE≌△ADN（SAS）， ∴AE＝AN，