专题06 半角模型综合应用（能力提升）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题06 半角模型综合应用（能力提升） 1． 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且∠EAF＝45°，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接BD交AF于点M，DE＝2，BF＝3，则GM＝　　． 【答案】2 【解答】解：连接GE交AF于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ABF＝∠ADE＝∠C＝90°，AB＝AD＝BC＝DC，AD∥BC， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAF+∠DAE＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， 由旋转得： AE＝AG，∠ABF＝∠ADE＝90°，BG＝DE＝2，∠BAG＝∠DAE， ∴∠BAG+∠BAF＝45°， ∴∠GAF＝∠EAF＝45°， ∵∠ABF＝∠ABG＝90°， ∴∠GBC＝∠ABG+∠ABF＝180°， ∴点G、B、F三点在同一条直线上， ∵BF＝3， ∴FG＝BG+BF＝2+3＝5， ∴△GAF≌△EAF（SAS）， ∴FG＝FE＝5， 设正方形ABCD的边长为x， ∴CF＝x﹣3，CE＝x﹣2， 在Rt△ECF中，FC2+EC2＝EF2， ∴（x﹣3）2+（x﹣2）2＝52， ∴x＝6或x＝﹣1（舍去）， ∴正方形ABCD的边长为6， 在Rt△ABF中，AF＝＝＝3， ∵AD∥BC， ∴∠DAM＝∠MFB，∠ADM＝∠MBF， ∴△ADM∽△FBM， ∴＝＝＝2， ∴AM＝AF＝2， 在Rt△ADE中，AE＝＝＝2， ∵AG＝AE，FG＝FE， ∴AF是EG的垂直平分线， ∴∠AOE＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴AE＝AO， ∴AO＝2， ∴点M与点O重合， ∴EG＝2GM， 在Rt△ECG中，EC＝DC﹣DE＝6﹣2＝4，GC＝BC+GB＝6+2＝8， ∴EG＝＝＝4， ∴GM＝2， 故答案为：2． 2．如图：已知正方形ABCD，动点M、N分别在DC、BC上，且满足∠MAN＝45°，△CMN的周长为2，则△CMN面积的最大值是 　 ． 【答案】3﹣2　 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，CD＝CB； 如图，将△ABN绕点A沿逆时针方向旋转90°得到△ADE， ∴AE＝AN，DE＝BN，∠DAE＝∠BAN； ∴∠MAE＝∠MAD+∠BAN， ∵∠MAN＝45°， ∴∠MAD+∠BAN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠MAE＝∠MAN； 在△MAE与△MAN中， ， ∴△MAE≌△MAN（SAS）， ∴ME＝MN， ∴MD+BN＝MN； ∴△MCN的周长＝CM+CN+MN＝CM+ME+CN＝CM+DM+CN+BN＝CD+CB＝2，而CD＝CB， ∴CD＝CB＝1；设DM＝x，BN＝y，△CMN的面积为s， 则S＝＝， 整理得：x+y﹣xy＝1﹣2S①； 由勾股定理得：MN2＝CM2+CN2， 即（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2， 整理得：x+y+xy＝1②，联立①②得： xy＝s，x+y＝1﹣s， ∴x、y为方程z2﹣（1﹣s）z+s＝0的两个根， ∴△≥0，即[﹣（1﹣s）]2﹣4s≥0， 解得：s或s（不合题意，舍去）， 故答案为3﹣2． 3．旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且． （1）如图a，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结DF． ①∠DAF＝　 　；②求证：DF＝DE； （2）如图b，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）①解：由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°， ∵∠DAE＝α，∠BAC＝α＝60°， ∴∠DAE＝×60°＝30°， ∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°， ∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°， 故答案为：30°； ②证明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°， ∵AB＝AC， ∴△DAF≌△DAE（SAS）， ∴DF＝DE； （2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下： 如图， 将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连结DF， ∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAE， ∴△BAF≌△CAE（SAS）， ∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE， 在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°， ∴∠ABF＝45°， ∴∠DBF＝90°，根据勾股定理得，DF2＝BD2+BF2， ∴DF2＝BD2+CE2， 同（1）②的方法得，DF＝DE， ∴DE2＝BD2+CE2． 4．已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶