6.2.2空间向量的坐标表示-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

6.2.2空间向量的坐标表示 目标导航 课程标准 重难点 1. 在平面直角坐标系的基础上了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用直角坐标系刻画点的位置. 2. 能借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）得到顶点的坐标. 3. 掌握空间向量线性运算的坐标表示. 重点：空间向量的坐标运算. 难点：空间向量平行垂直的坐标表示. 知识精讲 知识点01 空间直角坐标系 1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。 其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 知识点02 空间直角坐标系中点的坐标 定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。 注意：在空间直角坐标系O-xyx中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a=a1i＋a2j＋a3x，有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=（a1，a2，a3）. 【即学即练1】笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】在平行六面体中，底面是矩形，， 平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标. (1)； (2)； (3)； 【即学即练3】在直三棱柱中，，D为的中点，则在空间直角坐标系中（O为坐标原点），的坐标是_________，的坐标是_________． 知识点03 空间向量的坐标运算 1.空间向量的坐标运算 （1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则 ①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2） ②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2） ③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R). ④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； ⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； ⑥|a|＝＝； ⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝． (2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的 坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 2.空间向量平行、垂直的坐标表示 （1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R). (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 3.空间向量坐标的应用 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝． 【即学即练4】已知向量，，，则的坐标为______. 【即学即练5】已知向量，，，求： (1)； (2)； (3). 能力拓展 ◆考点01 空间向量的坐标表示 【典例1】已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【典例2】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【典例3】若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________. ◆考点02 空间向量坐标运算 ◆类型1 加减数乘与数量积 【典例4】若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【典例5】在棱长为1的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D．不确定 ◆类型2空间向量模长问题 【典例6】已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例7】若，