5.3.2.1函数的极值-【361课堂】2022-2023学年高二数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019选择性必修第二册)

5.3.2函数的极值 5.3导数在研究函数中的应用 五、一元函数的导数及其应用 1 课程标准 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间； 2.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定的闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系 2 复习回顾 回顾1 如何判断函数的单调性？ （1）图象 （2）定义法 （3）求导 3 复习回顾 回顾2 如何用导数的方法判断函数的单调性？ 函数的单调性与其导函数正负的关系 在某个区间上 （1）如果，那么函数在区间上单调递增； （2）如果，那么函数在区间上单调递减； （3）如果在区间上恒有那么函数在区间上是常数函数. 1.定义域 2.求导 3.零点 4.列表 5.（单调性）图象 4 新课导入 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点的导数为，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 5 一 二 三 教学目标 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 能利用导数求某些函数的极大值、极小值 过理解函数的极值及其应用导数的求解过程，发展学生的直观想象与数学运算素养 教学目标 难点 重点 易错点 新知探究 探究一：借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 7 新知讲解 观察左图，我们发现，当时，高台跳水运动员距水面的高度最大. 那么，函数在此点的导数是多少呢？ 此点附近的图象有什么特点？ 相应地，导数的正负性有什么变化规律？ l 8 新知讲解 放大附近函数的图象 可以看出，； 在附近，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，. 这就是说，在附近，函数值先增(当时，)后减(当时，). 这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有. 追问1：对于一般的函数，是否也有同样的性质呢？(是否具有一般性？) 9 新知讲解 问题2 如图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？ 提示：观察图象的单调性 10 新知讲解 以两点为例，可以发现，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧. 类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧. 11 概念生成 我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值； 叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 12 例题讲解 例5.求函数的极值. 单调递增 单调递减 单调递增 因此，当时，有极大值，并且极大值为 当时，有极小值，并且极小值为 解：因为 所以 令，解得或 13 新知讲解 问题3 极大值一定大于极小值吗？ 问题4 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 请大家以小组形式进行探究，利用图象进行分析，将问题的答案进行描述与理解。 14 新知讲解 极大值不一定大于极小值 比如图中，，，都是函数的极大值点，，都是函数的极小值点.从图中可以看出，函数的极大值可能比极小值小，如. 15 新知讲解 导数值为0的点不一定是函数的极值点. 例如，对于函数，我们有. 虽然，但由于无论，还是，恒有，即函数是增函数，所以0不是函数的极值点. 一般地，函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件. 16 概念生成 一般地，可按如下方法求函数的极值： 解方程，当时： (1)如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2)如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值. 单调性改变，才会是产生极值点 17 小结 极小值、极大值的概念： 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值 18 小结 求函数极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数； (3)解方程得方程的根； (4)列表，判定导函数在各个小开区间的符号； (5)确定函数的极值，如果的符号在处由正(负)变负(正)，则在处取得极大(小)值. 19 $