9.2.4 总体离散程度的估计（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

9．2.4　总体离散程度的估计 [学习目标] 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)(重难点).2.理解离散程度参数的统计含义(重点).3.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.4.会计算样本方差，掌握分层随机抽样的样本方差． 要点一　总体方差和标准差 1．平均距离 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数．我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即|xi－|(i＝1,2，…，n)作为xi到的“距离”．可以得到这组数据x1，x2，…，xn到的“平均距离”为xi－|. 2．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差 一组数据x1，x2，…，xn的方差为　(xi－)2　＝　－2　，标准差为　　. 3．总体方差和标准差 (1)如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为　　，则称　S2＝(Yi－)2　为总体方差，　S＝　为总体标准差． (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为　S2＝i(Yi－)2　. 要点二　样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝　(yi－)2　为样本方差，s＝　　为样本标准差． 要点三　方差和标准差的意义和性质 1．意义 方差和标准差刻画了数据的__离散程度或波动幅度__，标准差越大，数据的离散程度越__大__；标准差越小，数据的离散程度越__小__. 2．若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，标准差为s，则 (1)x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为＋b，方差仍为s2，标准差仍为s； (2)ax1，ax2，…，axn的平均数为a，方差为a2s2，标准差为as； (3)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为as. 思考：(1)为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”可以吗？ (2)标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？ 提示　(1)“平均距离”具有无偏差、有效性、一致性，“总距离”不可以． (2)标准差的取值范围是[0，＋∞)，标准差为0的一组数据各项都相同，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性． 要点四　分层随机抽样的方差 设样本量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差为s2＝[s＋(1－)2]＋[s2＋(2－)2]． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)计算分层随机抽样的均值与方差时，没必要知道各层的样本量与总体的个体数的比值．(　　) (2)方差是标准差的平方．(　　) (3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．(　　) 解析　(1)错误，需要知道各层的样本量与总体中个体数的比值． (2)正确，标准差的平方s2叫做方差． (3)错误，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中． 答案　(1)×　(2)√　(3)× 类型一　方差和标准差的计算及应用 答题模板 计算方差和标准差的步骤：(1)求出样本数据的平均数；(2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi－ (i＝1,2，…，n)；(3)求出xi－ (i＝1,2，…，n)的平方值；(4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差；(5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差． 【例题1】 甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据如下． 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 思维导引：直接根据平均数及方差的计算公式计算，再根据平均数及方差的值解决生活中的实际问题． 解析　(1)甲＝×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，乙＝×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝， s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 【变式1】 甲、乙两名战士在相同条件下各