9.2.2 总体百分位数的估计、9.2.3 总体集中趋势的估计（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

9．2.2　总体百分位数的估计 9．2.3　总体集中趋势的估计 [学习目标] 1.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.2.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义(重点)． 要点一　第p百分位数 1．定义 一般地，一组数据的__第p百分位数__是这样一个值，它使得这组数据中至少有__p%__的数据小于或等于这个值，且至少有__(100－p)%__的数据大于或等于这个值． 2．计算步骤 计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从__小到大排列__原始数据； 第2步，计算__i＝n×p%__； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为__第j项__数据；若i是整数，则第p百分位数为__第i项与第(i＋1)项__数据的平均数． 特别地：①中位数相当于第50百分位数．②四分位数：常用的分位数有第25,50,75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称第三四分位数或上四分位数．③在统计中经常被使用的百分位数还有第1百分位数、第5百分位数、第95百分位数和第99百分位数． 要点二　众数、中位数、平均数 名称 定义 在频率分布直方图中的估计方法 众数 一组数据中出现次数__最多__的数称为这组数据的众数 最高矩形底边__中点__的横坐标 中位数 一组数据按从小到大的顺序排列，处于中间位置的数称为这组数据的__中位数__ 一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的__集中趋势__；在直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积__相等__ 平均数 一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数，数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为＝　　 平均数的估计值等于直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形__底边中点的横坐标__之和 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)第25百分位数表示一组数据中至少有25%的数据小于或等于这个数值．(　　) (2)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的．(　　) (3)中位数一定是样本数据中的某个数．(　　) (4)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变．(　　) 解析　(1)正确，符合第p百分位数的概念． (2)错误，一个样本的平均数和中位数是唯一的；若数据中有两个或两个以上出现得最多，且出现次数一样多，则这些数据都是众数，若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数，可见一个样本的众数可能有多个，也可能没有． (3)错误，如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数． (4)错误，若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 类型一　百分位数的计算 【例题1】 北京市2022年5月份某一周的日最高气温(单位：℃)分别为25,28,30,29,31,32,28，则这周的日最高气温的第75百分位数为(　　) A．28 ℃ B．29 ℃ C．31 ℃ D．32 ℃ 思维导引：利用百分位数的概念以及计算步骤直接求解． 答案　C 解析　将数据由小到大排列为25,28,28,29,30,31,32，因为7×75%＝5.25，所以这周的日最高气温的第75百分位数为31 ℃.故选C项． 【变式1】 求下列一组数据1,2,2,3,4,4,5,6,6,7的第30百分位数(　　) A．2 B．3 C．4 D．2.5 答案　D 解析　这组数据共有10个，10×30%＝3，即第 30百分位数是第3个数据和第4个数据的平均数2.5.故选D项． 类型二　众数、中位数、平均数的计算 规律总结 (1)众数、中位数和平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． (2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题． (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中． (4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息．但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低． 【例题2】 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)． 甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56. (1)甲群市民年龄的