8.2 立体图形的直观图（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

8.2　立体图形的直观图 [学习目标] 1.了解斜二测画法.2.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图(重点)． 要点一　用斜二测画法画平面图形直观图的步骤 要点二　用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 1．画轴线：先画出水平放置的平面直角坐标系xOy，再作竖轴Oz轴，图形中使∠xOy＝__45°__，∠xOz＝__90°__，平面yOz和平面xOz表示竖直平面． 2．画底面：在水平面xOy内按__斜二测画法__画出几何体的底面． 3．画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中其平行性和长度都__不变__. 4．成图：连线，去掉辅助线(如__坐标轴__)，将被遮挡的部分改为虚线，得到空间几何体的__直观图__. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　) (2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．(　　) (3)相等的角在直观图中还相等．(　　) (4)空间几何体的直观图是唯一的．(　　) 解析　(1)错误，有可能是135°. (2)错误，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． (3)错误，不一定相等，例如正方形的直观图为平行四边形，其四个内角的度数都发生改变． (4)错误，不唯一，作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图往往也不相同． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 类型一　平面图形的直观图 解题技巧 画水平放置的平面图形直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点． (2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定． (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同． 【例题1】 画如图所示的水平放置的直角梯形OBCD的直观图． 思维导引：应用原图中的垂直关系建系，使尽可能多的点落在坐标轴上． 解析　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在的直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图①所示，再画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示． (2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②. (3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图③. 【变式1】 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图． 解析　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，其中BO＝CO＝2 cm，AO＝2 cm. (2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°， 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝OA＝ cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示． 类型二　空间几何体的直观图 答题模板 空间几何体直观图的画法 (1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系； (2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面； (3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点； (4)连线成图． 【例题2】 用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm，下底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱台． 思维导引：分别画出正四棱台的上、下底面的直观图，进而得到正四棱台的直观图． 解析　(1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画下底面．在平面xOy上画边长为2 cm的正方形的直观图ABCD. (3)画上底面．在Oz上截取OO′＝2 cm，过O′分别作平行于Ox，Oy的直线O′x′，O′y′，在平面x′O′y′上用画正四棱台下底面的方法画出边长为1 cm的正四棱台的上底面． (4)成图．依次连接AA′，BB′，CC′，DD′，整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改成虚线)得到正四棱台的直观图，如图②所示． 【变式2】 画出一个底面边长为2，高为的正四棱锥的直观图． 解析　(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①. (2)画底面．以O为中心，在平面xOy内画出正方形的直观图ABCD，如图①，其中AB＝2，BC＝1. (3)画顶点．在Oz