6.3.2 平面向量的正交..、6.3.3 平面向量加、减运算...、6.3.4 平面向量数乘....（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

6．3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 [学习目标] 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算(重点)． 要点一　平面向量的正交分解及坐标表示 1．正交分解的定义 把一个向量分解为两个__互相垂直__的向量，叫做把向量作正交分解． 2．向量的直角坐标 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个__单位向量__分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝　xi＋yj　.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对__(x，y)__叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 3．向量的坐标表示 在向量a＝(x，y)的直角坐标平面中，__x__叫做a在x轴上的坐标，__y__叫做a在y轴上的坐标，　a＝(x，y)　叫做向量a的坐标表示． 4．在向量的直角坐标平面中，i＝__(1,0)__，j＝__(0,1)__，0＝(0,0)． 思考：(1)正交分解与平面向量基本定理有何联系？ (2)点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？ 提示　(1)正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时)． (2)区别：①表示形式不同，a＝(x，y)，点A(x，y)；②意义不同，点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，而向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向．联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． 要点二　平面向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R. 运算 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__和__ a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__差__ a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__ 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 λa＝__(λx1，λy1)__ 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__终点__的坐标减去__起点__的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__ 要点三　两向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. (1)由于规定零向量与任一向量平行，所以a∥b⇔x1y2－x2y1＝0对任意向量都成立． (2)特别地，当x2y2≠0时，我们有　a∥b　⇔　　＝　　，其文字表述是“两个向量平行的条件是__相应的坐标__成比例”． 思考：已知向量a＝(x，y)，与a共线的单位向量的坐标是什么？ 提示　设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　) (3)若把向量平移到，则和的坐标相同．(　　) (4)两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)平行的条件x1y2－x2y1＝0可以写成＝.(　　) 解析　(1)正确，由平面向量的坐标表示的定义可得． (2)错误，两向量差的坐标与两向量的顺序有关． (3)正确，平面向量在平面内可自由平移． (4)错误，当x2y2≠0时，x1y2－x2y1＝0可以写成＝；当x2y2＝0时，x1y2－x2y1＝0不可以写成＝. 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 类型一　 平面向量的坐标表示 误区防错 点的坐标与向量的坐标的区别与联系 (1)向量＝(x，y)，中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)，中间没有等号． (2)平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相同，起点不在原点的向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标． (3)相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却不一定相同． 【例题1】 如图，向量a，b，c的坐标分别是__________，__________，__________. 思维导引：在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标；也可以根据向量坐标的定义来求． 解析　将各向量分别向基底i，j所在的直线分解，则a＝－4i＋0·j，b＝0·i＋6j，c＝－2i－5j，所以a＝(－4,0)，b＝(0,6)，c＝(－2，－5)． 答案　(－4,0)　(0,6)　(－2，－5) 【变式1】 已知O是坐标