6.2.4 向量的数量积（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

6．2.4　向量的数量积 [学习目标] 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积(重难点).2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(重点)． 要点一　向量的数量积 1．向量的夹角 条件 已知两个__非零__向量a，b，O是平面上的任意一点 产生过程 作＝a，＝b，则__∠AOB＝θ__叫做向量a与b的夹角 范围 0≤θ ≤π 特殊情况 θ＝0 a与b__同向__ θ＝ a与b__垂直__，记作a⊥b θ＝π a与b__反向__ 2．向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ 叫做向量a与b的__数量积__(或__内积__)，记作a·b，即　a·b＝|a||b|cos θ　.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__. 3．向量的数量积的物理背景 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的__功__W就等于力F与位移s的数量积，即　W＝F·s＝|F||s|cos θ　，其中θ是F与s的夹角． 思考：(1)向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什么区别？ (2)可以把“a·b”写成“ab”或“a×b”吗？ 提示　(1)向量的数量积的运算结果是数量，只有大小，没有方向；向量的线性运算结果是向量，既有大小又有方向． (2)不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式． 要点二　投影与投影向量 1．如图所示，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 2．如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． 3．(1)设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么与e，a，θ之间的关系为对于任意的θ∈[0，π]，都有＝　|a|cos θe　. (2)|a|cos θ(|b|cos θ)为向量a在b上(b在a上)的投影的数量． 要点三　向量数量积的性质和运算律 1．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b ⇔　a·b＝0　. (3)当a与b同向时，a·b＝　|a||b|　；当a与b反向时，a·b＝　－|a||b|　.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝＝. (4)cos θ＝　　. (5)|a·b|≤|a||b|. 2．向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝　b·a　(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝　a·(λb)　(结合律)； (3)(a＋b)·c＝　a·c＋b·c　(分配律)． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　) (3)若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角．(　　) (4)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) 解析　(1)错误，两个向量的数量积是实数． (2)错误，若a·b＝b·c＝0，向量a，c不一定相等，它们可能只是都与b垂直的向量． (3)错误，若a·b＜0，则a与b的夹角可能为180°. (4)错误，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 类型一　求向量的数量积 规律总结 求平面向量数量积的方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． (2)运算律转化法：根据数量积的运算律，由(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d可得如下运算公式：(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2；(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2. (3)利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解． 【例题1】 (1)如图，正△ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝________. (2)(2021·新高考Ⅱ)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝_____