6.2.2 向量的减法运算（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

6．2.2　向量的减法运算 [学习目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义.2.能熟练地进行向量加减法的混合运算(重点)． 要点一　相反向量 1．(1)定义：与向量a__长度相等，方向相反__的向量，叫做a的相反向量，记作　－a　. (2)规定：零向量的相反向量仍是__零向量__. 2．(1)－(－a)＝　a　. (2)任意向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝　(－a)＋a　＝　0　. (3)如果a，b互为相反向量，那么a＝　－b　，b＝　－a　，a＋b＝　0　. 思考：相反向量的两个要素是什么？ 提示　相反向量的两个要素是“模长”和“方向”，不仅要方向相反，还必须长度相等． 要点二　向量的减法 1．定义 求两个向量差的运算叫做向量的减法．向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__，即a－b＝a＋　(－b)　. 2．几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则　　＝a－b，如图所示，即a－b可以表示为从　向量b的终点　指向　向量a的终点　的向量． 3．向量减法的有关不等关系 (1)|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b__反向__或至少有一个为0时，等号成立． (2)||a|－|b||≤|a－b|，当且仅当a，b__同向__或至少有一个为0时，等号成立． 思考：移项法则对向量等式适用吗？ 提示　含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的两边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式，所以移项法则对向量等式也是适用的． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个向量的差仍是一个向量．(　　) (2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　) (3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．(　　) (4)若向量a与b的方向相反，则a与b是相反向量．(　　) 解析　(1)正确，两个向量的差仍是一个向量． (2)正确，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． (3)正确，由三角形法则可得说法正确． (4)错误，相反向量是方向相反、长度相等的向量，而a与b的长度不确定． 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 类型一　 向量减法的运算法则 规律总结 求两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行运算，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)也可以直接用向量减法的三角形法则来进行运算，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，且指向被减向量的终点的向量． 【例题1】 如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 思维导引：根据两向量差的三角形法则以及两向量和的三角形法则和平行四边形法则求解． 解析　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c即为所求． 【变式1】 在本例的条件下作出向量a－b＋c和 a－b－c. 解析　如图所示，图(1)为向量a－b＋c，图(2)为向量 a－b－c. 类型二　向量加、减法的混合运算 误区防错 进行向量加、减法的混合运算时，常用向量加法的交换律和结合律变形出向量相加首尾相接的形式或向量相减共起点的形式，再利用向量加、减法的运算法则求解．求解时要注意两起点相同的向量相减，差向量指向被减向量的终点． 【例题2】 化简：(－)－(－)． 思维导引：首尾相连且为和，起点相同且为差，做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． 解析　方法一　(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0. 方法二　(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0. 【变式2】 化简：(1)－＋； (2)＋＋－－. 解析　(1)－＋＝＋＝0. (2)＋＋－－＝＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＋＝0＋＝. 类型三　向量加、减法的应用 解题技巧 求解与平面几何知识相关的向量问题时，要充分利用平面几何中的结论，要能很好地将题目中的向量条件与几何条件统一起来，通过向量之间的运算，研究几何元素之间的关系，再根据结果“翻译”成几何元素． 【例题3】 已知点O是△ABC内的一点，证明：当且仅当O为△ABC的重心时，＋＋＝0. 思维导引：利用向量的加法、减法的几何意义证明． 证明 ①当O为△ABC的重心时，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则由向量加法的平行四边形法则得＋＝，又由平面几何知识知OD＝OC，且C，O，D三点共线， 所以向量与向量互为相反向量， 所以＋＋＝＋＝0. ②当＋＋＝0时，有＋＝－， 而以OA，OB为邻边的平行四边形OADB的对角线必过AB的中点O1，所以O，C，O1三点共线，所以直线OC过AB的中点，同理可证OA过BC的中点，OB过AC的中点， 所以点