6.2.1 向量的加法运算（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

6．2　平面向量的运算 6．2.1　向量的加法运算 [学习目标] 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义． 要点一　向量加法的定义及运算法则 定义 求__两个向量和__的运算，叫做向量的加法 运算 法则 三角形 法则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，再作向量 结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB 结论 以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和 图形 规定 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 要点二　向量加法的运算律与有关不等式 1．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝　b＋a　. (2)结合律：a＋(b＋c)＝　(a＋b)＋c　. 2．向量加法的有关不等关系 (1)|a＋b|≤　|a|＋|b|　，当且仅当a，b__方向相同__或至少有一个为0时，等号成立． (2)||a|－|b||≤|a＋b|，当且仅当a，b__方向相反__或至少有一个为0时，等号成立． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个向量相加的结果可能是一个数量．(　　) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(　　) (4)若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．(　　) 解析　(1)错误，两个向量相加的结果仍然是向量． (2)错误，两个向量相加也要考虑方向． (3)错误，当两个向量共线时，两个向量的和向量与这两个向量共线． (4)错误，当a，b共线时，若a，b同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|；若a，b反向，则|a＋b|＝||a|－|b||；当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 类型一　 向量加法的运算法则 解题技巧 向量求和的注意点 (1)三角形法则对于任何向量求和都适用，但要注意“首尾相连”． (2)两个向量的和向量仍是一个向量． (3)平行四边形法则仅对于两个不共线的向量求和适用，且应用的前提是两向量共起点． (4)当涉及三个或三个以上的向量和时，一般用三角形法则求和更简单． 【例题1】 (1)如图①所示，求作向量a＋b. (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 思维导引：(1)用三角形法则作两个方向相同向量的和． (2)对于三个向量的和，可先作其中两个向量的和，再作这个和向量与另一个向量的和． 解析　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b即为所求，如图所示． (2)如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 【变式1】 在如图所示的正五边形中，给出四个向量a，b，c，d. (1)求作向量a＋c； (2)求作向量b＋d. 解析　(1)如图①，设向量a的起点为O，终点为A，则＝a，再作＝c，则＝a＋c即为所求． (2)如图②，设向量b的起点为O1，终点为A1，则＝b，再作＝d，则＝b＋d即为所求． 类型二　向量加法的运算律 解题技巧 (1)在进行向量的加法运算时，可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法的运算律，注意各向量的起点、终点及向量的起点、终点字母的排列顺序，凑成首尾相接的形式，特别注意勿将0写成0. 【例题2】 化简：(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 思维导引：根据向量加法的运算律将原式变为各向量首尾相连的形式，然后利用向量加法的运算法则求和． 解析　(1)＋＝＋＝. (2)＋＋＝＋＋＝＋＝0. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝0. 【变式2】 化简：(1)＋＋； (2)(＋)＋(＋)； (3)＋(＋)＋. 解析　(1)＋＋＝＋＋＝. (2)(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝. (3)＋(＋)＋＝＋＋＋＝0. 类型三　向量加法的实际应用 答题模板 应用向量加法解决实际 应用问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，对有关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【例题3】 一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行．已知C地