6.2立方根（讲+练）-2022-2023学年七年级数学下册同步知识+题型培优讲义（人教版）

6.2立方根 1．理解立方根概念． 2．掌握立方根的特征，会用立方根的特征和性质反推字母符号或值． 一、立方根 如果一个数x的立方等于a，即 ，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根，记作，其中“3”叫做根指数，不能省略，读作“三次根号a” 例子：是-8的立方根，即 ，是的立方根，即 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．易见，开立方与立方也互为逆运算，即 注意： ① 任何一个数都有立方根、且只有一个，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0； ② 平方根等于本身的只有0，算术平方根等于本身的有0和1，立方根等于本身的有0和 。 ． 请填写上表并思考，如果两个数互为相反数、那么它们的立方根也互为相反数 ， 即 题型一 立方根的定义及应用 【例题1】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．的平方根是 C．一定有平方根 D．表示的算术平方根 【变式1-2】下列计算，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】的立方根是(　　) A． B．2 C．±2 D． 【变式1-4】依据图中呈现的运算关系， 可知：=___________；=___________． 【变式1-5】的算术平方根是______；的平方根是______；的立方根是______． 【变式1-6】解方程 【同步测试1-1】求下列各式中的： (1) (2) 【同步测试1-2】已知是的立方根，的算术平方根为4，求的平方根． 【同步测试1-3】已知某正数的平方根是和，的立方根为． (1)求这个正数的立方根； (2)求的平方根． 【同步测试1-4】已知一个正数的两个平方根分别为和，的立方根为，求的值． 【同步测试1-5】在一个长、宽、高分别为8，4，2的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长． 【同步测试1-6】已知某个正数的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求ab的值． (2)求的平方根． 【同步测试1-7】对于结论：当时．也成立．若将a看成的立方根，b看成的立方根．由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数” (1)举一个具体的例子进行验证； (2)若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根． 【同步测试1-8】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且x为整数． ∵， ∴x一定是一个两位数； ∵10648的个位数字是8， ∴x的个位数字一定是______； 划去10648后面的三位648得10， ∵， ∴x的十位数字一定是______； ∴______． (2)，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值． 题型二 算术平方根和立方根综合应用 【例题2】一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 【变式2-1】下列说法正确的是（    ） A．64的立方根是 B．的平方根是－4 C．4的算术平方根是 D．5是25的算术平方根 【变式2-2】下列说法中，正确的是（    ） A．0.4的算术平方根是0.2 B．是6的平方根 C．1的立方根为 D．没有平方根 【变式2-3】已知的平方根是，的算术平方根是5，则的立方根是 __． 【变式2-4】已知4是的算术平方根，的立方根为． (1)求和的值； (2)求的平方根． 【变式2-5】（1）已知的算术平方根是2，的立方根是2，求a、b的值； （2）已知一个正数x的平方根分别是和，求x的值． 【变式2-6】己知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根， (1)求a，b，c的值 (2)求的平方根． 【变式2-7】本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：______． （2）探究性质：①1的四次方根是______；②16的四次方根是______；③0的