8.立体几何中的向量方法-【快乐假期】2022-2023学年高二数学寒假作业（新教材，北师大版）

　　八、立体几何中的向量方法　　　　　　　 1．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝________(其中φ为异面直线a，b所成的角) 2．直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝________. 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝________. (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝________. 4．点面距离的求法 设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的距离为________________(如图)． 向量法证明空间几何问题的两种基本思路 　思路一：用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断． 思路二：用向量的坐标表示几何量，共分三步： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的量，把立体几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系． (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题． 1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则(　　) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定 2．(2022·海南海口高二期中)在空间直角坐标系中，a＝(1,2,1)为直线l的一个方向向量，n＝(2，t,4)为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝(　　) A．3　　　　　　　　B．－3 C．1 D．－1 3．(2022·重庆一中高二期中)已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，点P(1,2，－2)在α外，则点P到平面α的距离为(　　) A. B. C. D. 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 5. (多选)(2022·浙江绍兴一中高二期中)如图，在空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为单位正方体，下列结论中正确的有(　　) A．直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B．直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 6．(多选)(2022·江苏南京师大附中高二月考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A．AC1与EF相交 B．B1C1∥平面DEF C．EF与AC1所成角的大小为90° D．点B1到平面DEF的距离为 7．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________. 8．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中两两垂直的有________对． 9．在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则点D到平面PBC的距离是________． 10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，G，E，D分别是棱A1B1，CC1，AC的中点，F是棱AB上的点．若·＝－1，则线段DF的长度为________． 11．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．证明平面AMN∥平面EFDB，并求平面AMN与平面EFDB的距离． 12．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． (1)求证： D1F∥平面A1EC1； (2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值； (3)求二面角A－A1C1－E的正弦值． 1．(2022·新高考Ⅱ卷，20)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点． (1)证明：OE∥平面PAC； (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B的正弦值． 2．(2022·全国乙卷，18)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD