6.抛物线-【快乐假期】2022-2023学年高二数学寒假作业（新教材，北师大版）

　　六、抛物线　　　　　　　 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的________的点的轨迹叫抛物线．________叫做抛物线的焦点，________叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程(p＞0) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 1．距离相等　定点　定直线 2. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px x＝－ y2＝－2px x＝ x2＝2py y＝－ x2＝－2py y＝ 判断焦点位置及开口方向的记忆口诀 焦点要看一次项，符号确定开口方向， 如果y是一次项，负时向下，正向上， 如果x是一次项，负时向左，正向右． 1．(2022·江苏扬州高二期中)若抛物线y2＝16x上的点M到焦点的距离为12，则它到y轴的距离是(　　) A．6　　　　　　　　B．8 C．9 D．10 2．抛物线y＝x2的准线方程是(　　) A．x＝ B．y＝－ C．x＝－4 D．y＝－4 3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|·|FB|＝8，则|AB|＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 4．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．(多选)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则下列结论正确的是(　　) A．准线方程为x＝－3 B．焦点坐标F C．点P的坐标为 D．PF的长为3 6．(多选)(2022·江苏南通高二期中)已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝－2上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则(　　) A．k1k2＝－ B．|k1－k2|＝2 C．直线AB过定点(2,0) D．|AF|·|BF|的最小值为8 7．抛物线x＝y2的焦点坐标是________． 8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4y的准线相交于A，B两点，则△OAB的面积为________． 9．(2022·黑龙江哈师大附中高二期中)已知倾斜角为的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________． 10．在抛物线y＝x2上存在两个点M，N关于直线y＝kx＋对称，则实数k的取值范围为________． 11．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程． 12．已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点； (2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程． 1．(2022·全国乙卷，5)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 2．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷，11)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　) A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切 C．|OP|·|OQ|＞|OA|2 D．|BP|·|BQ|＞|BA|2 假期作业(六) 技能提升台　技能提升 1．B　2.D　3.C　4.B　5.BC　 6．AC　[由题意可得，F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1， 设P(－2，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2. 过点A的切线方程为y－y1＝k1(x－x1)． 联立 消去x得y2－＋－4x1＝0. 由Δ＝0，可得k1＝. 所以y－y1＝(x－x1)，① 同理过点B的切线方程为y－y2＝(x－x2)．② 由①②解得x＝，由点P的横坐标为－2，得＝－2，则y1y2＝－8，k1k2＝＝－，故A正确． 因为|k1－k2|＝＝不为定值，故B错误． 因为切线PA的方程为yy1－y＝2(x－x1)，切线PB的方程为yy2－y＝2(x－x2)，所以ty1－y＝－4－2x1，ty2－y＝－4－2x2，所以直线AB的方程为ty－y2＝－4－2x，即ty＝2(x－2)，所以直线AB恒过定点(2,0)，故C正确． 由抛物线的定义得|AF|·|BF|＝(x1＋1)·(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝＋1＋＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当|y1|＝|y2|时取等号，所以|AF|·|BF