12.离散型随机变量的均值-【快乐假期】2022-2023学年高二数学寒假作业（新教材，人教B版）

　　　　　十二、离散型随机变量的均值 与方差和正态分布 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn (1)均值 称E(X)＝________________为随机变量X的均值或________，它反映了离散型随机变量取值的______________． (2)方差 称D(X)＝ (xk－E(X))2pk为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的____________，其算术平方根为随机变量X的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝________. (2)D(aX＋b)＝________.(a，b为常数) 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ·σ(x)＝e－，x∈R有以下性质： (1)曲线位于x轴________，与x轴________； (2)曲线是单峰的，它关于直线________对称； (3)曲线在________处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当________一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝________； P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝________； P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝________. 1．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xkpk＋…＋xnpn　数学期望　平均水平　(2) 离散程度 2．(1)aE(X)＋b　(2)a2D(X)　3.(1)上方 不相交　(2)x＝μ　(3)x＝μ　(5)σ　(6)越小　越大　4.0.682 6　0.954 4　0.997 4 1．对均值(或数学期望)的理解 (1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均． (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值取值的平均状态． (3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加．由此可知，求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列． 2．方差的意义 D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之D(X)越小，X的取值越集中，由方差定义知，方差是建立在期望这一概念之上的．在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度． 3．正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1. 1．若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为(　　) A．3·2－2　　　　　　B．3·2－10 C．2－4 D．2－8 2．设随机变量的分布列如表所示，且E(ξ)＝1.6，则a×b＝(　　) ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 3．设随机变量X～N(2,9)，且P(X＞m)＝ P(X＜m－4)，则m的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的数学期望E(ξ)＝8.9，则y的值为(　　) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 5．(多选)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有(　　) A．μ1＜μ2 B．σ1＞σ2 C．σ1＜σ2 D．μ1＞μ2 6．(多选)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 7．若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． 8．已知某一随机变量X的分布列如下表： X 3 b 8 P 0.2 0.5 a 且E(X)＝6，则a＝________，b＝________. 9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随