10.二项式定理-【快乐假期】2022-2023学年高二数学寒假作业（新教材，人教B版）

1．二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的____________．其中的系数C(k＝0,1，…，n)称为第k＋1项的________系数．式中的Can－kbk叫二项展开式的________，用Tk＋1表示，即通项Tk＋1＝Can－kbk. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为________． (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为________． (3)字母a按________排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按________排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从________，C，一直到C，________. 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数________，即________________． (2)增减性与最大值： 二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐________．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的； 当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值； 当n是奇数时，中间两项Cn，Cn取得最大值． (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝____________；C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝____________. 1．展开式　二项式　通项公式　2.(1)n＋1 (2)n　(3)降幂　升幂　(4)C　C 3．(1)相等　C＝C　(2)增大　(3)2n　2n－1 1．二项式的项数与项 (1)二项式的展开式共有n＋1项，Can－kbk是第k＋1项．即k＋1是项数，Can－kbk是项． (2)通项是Tk＋1＝Can－kbk (k＝0,1,2，…，n)．其中含有Tk＋1，a，b，n，k五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素． 2．二项式系数与展开式项的系数的异同 在Tk＋1＝Can－kbk中，C就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；而Tk＋1项的系数是指化简后字母外的数． 3．二项式定理的应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式； ③可证明整除问题；④可做近似计算等． 1．在5的二项展开式中，x的系数为(　　) A．10　　　　　　　B．－10 C．40 D．－40 2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4.则a0＋a2＋a4的值为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 3.5的展开式中x4的系数为(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 4．(1－)8(1＋)5的展开式中x2的系数是(　　) A．－5 B．10 C．－15 D．25 5．(多选)(1＋sin x)6的二项展开式中，二项式系数最大的一项的值为，则x在[0,2π]内的值可能为(　　) A. B. C. D. 6．(多选)关于下列(a－b)10的说法，正确的是(　　) A．展开式中二项式系数之和是1 024 B．展开式的第6项的二项式系数最大 C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 7.6的展开式中常数项是________(用数字作答)． 8．(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________． 9.6的展开式中，项的系数为 ________. 10．(2022·浙江卷，12)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________. 11．已知在n的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3. (1)求n； (2)求展开式中所有的有理项． 12．已知(＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求2n的展开式中； (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项． 1．(2022·北京卷，8)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 2．(2022·新高考Ⅰ卷，13)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 假期作业(十) 技能提升台　技能提升 1．D　[因为Tk＋1＝C(2x2)5－kk ＝C25－kx10－2k(－1)kx－k＝C25－k(－1)kx10－3k，所以10－3k＝1，所以k＝3，所以x的系数为C25－3(－1)3