2.立体几何中的向量方法-【快乐假期】2022-2023学年高二数学寒假作业（新教材，人教A版）

　　二、立体几何中的向量方法　　　　　　　 1．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝________(其中φ为异面直线a，b所成的角) 2．直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝________. 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝________. (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝________. 4．点面距离的求法 设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的距离为________________(如图)． 1.　2.　3.(1)〈，〉 (2)〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)　4. 向量法证明空间几何问题的两种基本思路 　思路一：用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断． 思路二：用向量的坐标表示几何量，共分三步： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的量，把立体几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系． (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题． 1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则(　　) A．α∥β　　　　　　　B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 2．若平面α的法向量n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系成立的是(　　) A．cos θ＝ B．cos θ＝ C．sin θ＝ D．sin θ＝ 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 4．把边长为a(a＞0)的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是(　　) A．a B.a C.a D.a 5．(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论，正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AB，CD所成的角为60° C．△ADC为等边三角形 D．AB与平面BCD所成角为60° 6．(多选)如图，在正四面体ABCD中，E为CD中点，F为BC中点，则下面是平面AEB的法向量的为(　　) A. B. C. D. 7．如图所示，已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________． 8．在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.则二面角O­AC­B的平面角的余弦值为______． 9．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)， 则|a－2b|＝________. 10．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝2，A1A＝1，则点A到平面A1BC的距离为______. 11．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．证明平面AMN∥平面EFDB，并求平面AMN与平面EFDB的距离． 12．(2022·全国甲卷，18)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1.AB＝2， DP＝. (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值． 1．(2022·新高考Ⅰ卷，19)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角 A－BD－C的正弦值． 2．(2022·浙江卷，19)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，EF∥CD，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F－DC－B的平面角为60°，设M、N分别是AE，BC的中点． (1)证明：FN⊥AD； (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值． 参考答案 假期作业(二) 技能提升台　技能提升 1．A　2.D　3.C　4.D　5.ABC　6.ABD 7.　8.　9.　10. 11．解：先证明平面AMN∥平面EFDB. 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0,0)，A(1,0，0)，B(1,1,0)， M，N， E，F. ∴＝，＝. ∴＝，即MN∥FE. 同理可证AM∥DF，∴平面AMN∥平面EFDB. 设平面AMN的法向量为n＝(x，y,1)， 由n⊥，n⊥，得n