专题03 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

专题03 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【题型一 底边有中点时，连中线】 1 【题型二 底边无中点时，作高】 7 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 14 【典型例题】 【题型一 底边有中点时，连中线】 例题：（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，，．D为边的中点，E，F分别在上，于点D． (1)求证：是等腰三角形． (2)求的最小值． 【变式训练】 1．（2022春·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习）如图：在中，，D为边的中点，过点D作于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 2．（2022春·北京大兴·八年级统考期末）已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，． (1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明． 3．（2022春·湖北孝感·八年级统考期末）在中，，，点O为的中点． (1)若，两边分别交于E，F两点． ①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则　　． (2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长． 【题型二 底边无中点时，作高】 例题：（2022春·江苏·八年级期末）如图，点D、E在的边上，，，求证：． 【变式训练】 1．（2022春·北京门头沟·八年级统考期末）已知：如图，在中，，．求边上的高的长． 2．（2022春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，与均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）． 3．（2022春·北京海淀·八年级统考期末）已知在中，，且=．作，使得． (1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)； (2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数． 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中） (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【题型一 底边有中点时，连中线】 1 【题型二 底边无中点时，作高】 7 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 14 【典型例题】 【题型一 底边有中点时，连中线】 例题：（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，，．D为边的中点，E，F分别在上，于点D． (1)求证：是等腰三角形． (2)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)最小值为 【分析】（1）连接，证明，解题即可； （2）先根据勾股定理求得，则，取中点G，连接，则，即即可解题． 【详解】（1）如图，连接． ∵为直角三角形，且，D为的中点， ∴，且平分，， ∴．                 又∵， ∴， ∵， ∴，                 ∴，                 ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）∵， ∴， ∴， 取中点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022春·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习）如图：在中，，D为边的中点，过点D作于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可