专题02 解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

专题02 解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【技巧一 结合平行线构造新等腰三角形】 1 【技巧1.1 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 1 【技巧1.2 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 9 【技巧二 利用倍角关系构造新等腰三角形】 20 【典型例题】 【技巧一 结合平行线构造新等腰三角形】 【技巧1.1 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 例题：（2021春·辽宁盘锦·八年级校考期中）(1)如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交于点．直接写出线段与，之间的数量关系：___________． (2)如图，若中的平分线与三角形外角平分线交于点，过点作交于点，交于点．则与，之间的数量关系又如何？说明你的理由． 【变式训练】 1．（2022春·重庆合川·八年级期末）如图，在中，，是的角平分线，交AB于点F．的一个外角的平分线与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)若，求的大小． 2．（2022春·吉林长春·八年级长春市解放大路学校期末）如图，在中，．是角平分线，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，则______． 3．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）（1）如图1，中，作、的角平分线相交于点O，过点O作分别交、于E、F． （1）①求证：； ②若的周长是25，，试求出的周长； （2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点O，过点O作分别交、于E、F，则，，之间有何数量关系，直接写出结论． 4．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期中）在中，点，点在直线上，，过点作，交射线于点，过点作，交直线于点． (1)当是的角平分线，点在边延长线上时，如图①，求证：；（提示：延长，相交于点．） (2)当是的角平分线，点在边上时，如图②；当是外角的角平分线，点在边延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明； (3)在（1）、（2）的条件下，若，则_____________． 【技巧1.2 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 例题：（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：等边中． (1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值； (2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：． (3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值． 【变式训练】 1．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、． (1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系； (2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由； (3)应用：如图3，当落在射线上， F落在射线上时，，，则___________． 2．（2022春·辽宁大连·八年级期末）是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，求证：； (2)如图2，当点是上任意一点时，取的中点，连接．求的度数 3．（2022春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）已知：在等边中，点是边所在直线上的一个动点（与、两点均不重合），点在的延长线上，且． (1)如图①，当是边的中点时，求证：； (2)如图②，当是线段边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由； (3)若点是线段的延长线上任一点，，，，求的长． 4．（2022春·山东德州·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是 　　． A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　　D． (2)求得的取值范围是 　　． A．　　　B．　　C．　　D． (3)如图2，是的中线，交于E，交于F，且．求证：． 【技巧二 利用倍角关系构造新等腰三角形】 例题：（2022春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，在中，， (1)若，，求的度数； (2)若，求证：平分． 【变式训练】 1．（2021春·福建福州·八年级校考期末）在中，，点在边上，，点在线段上，． (1)如图，若点与点重合，则______； (2)如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系； (3)在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由． 2．（2022春·浙江·八年级专题练习）在中，， (1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证．请证明； (2)①如图②，当，为的角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明； ②如图③，当，