专题04 含30度角的直角三角形-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题04 含30度角的直角三角形 【例题讲解】 已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M． (1)求证：∠FEA＝∠FBA．(2)求∠EFC的度数． (3)猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论． （1）解：∵AD为边BC的垂直平分线， ∴AB=AC，∵△ACE为等边三角形，   ∴AC=AE，∴AB=AE，      ∴∠FEA=∠FBA； （2）解：∵AD为边BC的垂直平分线   ∴AB=AC，FB=FC，∴∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB， ∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB，即∠ABE=∠ACF，∵∠ABE=∠AEF，      ∴∠AEF=∠ACF，∵∠FME=∠CMA，    ∴∠EFC=∠CAE，∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°，     ∴∠EFC=60°． （3）解：FE+FA＝2FD，证明：在CF上取 N使得FN=FE， 由（2）得∠EFM=∠CAM=60°， ∵FN=FE，   ∴△EFN是等边三角形，     ∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF， ∵△ACE为等边三角形，      ∴∠AEC=60°，EA=EC， ∴∠FEN=∠AEC，∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN，即∠AEF=∠CEN， 在△EFA和∠ENC中，EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC， ∴△EFA≌△ENC（SAS），    ∴FA=NC，∴FE+FA=FN+NC=FC， ∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，       ∴∠FCB=×60°=30°， ∵AD⊥BC，        ∴∠FDC=90°，∴FC=2FD，    ∴FE+FA=2FD． 【综合解答】 1．问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成角，即；在的中点D处固定了一个激光扫描仪，需要对零件进行扫描，已知扫描光线的张角恒为，即． 问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫到的部分（即线段和线段）之间的数量关系． 问题解决： (1)先考虑特殊情况： ①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，________（填“>”，“<”或“=”）； ②当点E位于特殊位置，比如当时，________（填“>”或“<”）； (2)特殊到一般：猜想：如图2，当时，________，证明你所得到的结论： (3)研究特殊关系：如果，求出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）连接，先证明是等边三角形，即，当F点与B点重合时，即，根据“三线合一”可得，即有，同理：如果点E刚好和点A重合，同样有；问题得解；先证明是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得，再结合含角的直角三角形的性质可以求出，即问题得解； （2）将绕D点逆时针旋转120°至，连接，先证明，再证明，问题即可得解； （3）将绕D点逆时针旋转至，连接，根据（2）中的方法，同理可证明：，，再证明是直角三角形，，结合含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）如图，连接根据题意有，，即， ∵点D为中点， ∴， ∴是等边三角形，（此结论也适用于第（2）和（3）问） ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 当F点与B点重合时，如上图左图，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理：如果点E刚好和点A重合，同样有， 故答案为：； 当时，如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 将绕D点逆时针旋转至连接如图， 根据旋转的性质有：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （3）将绕D点逆时针旋转至，连接如图， 根据（2）中的方法，同理可证明：，， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵在（1）中已证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，合理构筑辅助线，证明三角形全等是解答本题的关键． 2．已知：如图，在等腰中，，，将线段绕点 顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于点，过点作线段的垂线，垂足为点，交于点 (1)如图1，若 ①求的度数； ②求证：； (2)如图2，若，当时，求的值 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①由，，，可得，即得，而，故，可得，根据，