专题03 等边三角形综合问题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题03 等边三角形综合问题 【例题讲解】如图，在等边△ABC 中，已知AD是∠BAC的角平分线，E为DA延长线上一点，以BE为一边且在BE以左作等边△BEF，连接CF． (1)求证：AE＝CF；(2)若BC＝16，EB＝30，求四边形EFCD的面积； (3)在（2）的条件下，延长FC，P为射线FC上一点，BP＝10，且∠BPF＜90°，若点Q在射线FC上，且以Q，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出BQ的长． (1)∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴CB=BA，BF=BE，∠ABC=∠EBF， ∴∠FBC=∠EBA，∴△FBC≌△EBA，∴CF=AE． (2)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=4，∵△FBC≌△EBA， ∴S△BCF=S△AEB，∵S四边形EFCD=S四边形EFCB-S△EDB =S△EFB+S△BCF-（S△AEB+S△ADB）=S△EFB-S△ADB (3)①当点Q中点P的右侧时，作BH⊥PF于H． ∵△FBC≌△EBA，∴∠EAB=∠FCB=150°， ∴∠BCH=30°，∴， 在Rt△BHP中，， 在Rt△BHP中，BH=4，HQ=HP+PQ=6+10=16， ∴． ②当点Q′在线段PC上时，若PQ=PB，则． 若BQ′=BP，则BQ′=10．若BQ′=PQ′，设BQ′=PQ′=x．则有x2=82+（x-6）2， 解得x=，∴BQ′=，综上所述，满足条件的BQ的值为或或10或． 【综合解答】 1．对于平面直角坐标系xOy中，已知△AOQ是边长为6的等边三角形． (1)如图Ⅰ，点Q在第一象限，点Q坐标是______； (2)如图Ⅱ，在y轴正半轴有一点P(0，2)，连接线段AP，以AP为底在线段AP上方作等边△APC，此时P，Q，C三点共线，求出QC的值； (3)如图Ⅲ，在y轴正半轴有一动点P(0，m)，连接线段AP，以AP为底在线段AP下方作等边△APD，连接OD．请问线段OD是否存在最小值；若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(3，3) (2)QC的值为2； (3)线段OD存在最小值，此时点P的的坐标是(0，3)． 【分析】（1）过点Q作QE⊥x轴于点E，利用等边三角形的性质以及勾股定理求得OE=3，QE=3，即可求得点Q坐标； （2）利用勾股定理求得PA的长，即等边△APC的边长，利用两点之间的距离公式求得PQ的长，即可求得QC的值； （3）连接PQ，利用SAS证明△PAQ≌△DAO，推出PQ=OD，当PQ⊥y轴时，PQ有最小值，即OD有最小值，据此即可求解． （1） 解：过点Q作QE⊥x轴于点E， ∵△AOQ是边长为6的等边三角形， ∴OE=EA=3， ∴QE==3， ∵点Q在第一象限， ∴点Q的坐标是(3，3)； 故答案为：(3，3)； （2） 解：∵△AOQ是边长为6的等边三角形， ∴点A坐标是(6，0)， ∵P(0，2)， ∴PA=4， ∵△APC是等边三角形， ∴PC=PA=4， ∵P(0，2)，Q (3，3)， ∴PQ=2， ∵P，Q，C三点共线， ∴QC=PC-PQ=4-2=2； （3） 解：连接PQ， ∵△AOQ和△APD都是等边三角形， ∴AQ=AO，AP=AD，∠OAQ=∠DAP=60°， ∴∠PAQ=∠DAO， ∴△PAQ≌△DAO(SAS)， ∴PQ=OD， ∵点P在y轴的正半轴上， ∴当PQ⊥y轴时，PQ有最小值，即OD有最小值， 此时点P的的坐标是(0，3)． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．如图，点O是等边ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，BO，AD． （1）求证：BCO≌ACD． （2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）150° 【分析】（1）根据题中所给的信息通过SAS证出△BCO≌△ACD， （2）先证出△OCD是等边三角形，又根据△BCO≌△ACD，得出AD＝OB＝8，∠BOC＝∠ADC，再根据勾股定理的逆定理得出∠ADO＝90°，等量代换得出∠BOC＝150°． 【详解】（1）证明：∵CO绕点C顺时针旋转60°得到CD ∴CO＝CD，∠OCD＝60° ∵△ABC是等边三角形 ∴CA＝CB，∠BCA＝60° ∴∠BCA＝∠OCD ∴∠BCO＝∠ACD 在△BCO和△ACD中 ∴△BCO≌△ACD（SAS）． （2）解：∵CO＝CD，∠OCD＝60° ∴△OCD是等边三角形 ∴OD＝OC＝6．∠ODC＝60° ∵△BCO≌△ACD ∴AD＝OB＝8，∠BOC＝∠ADC ∵OA＝10 ∴OA2＝AD2+OD2 ∴∠ADO＝90